Vjylku

Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it), выдвинутая Атле Сельбергом.

Гипотеза Сельберга является усилением второй гипотезы Харди—Литтлвуда^ru_en.
Сельберг выдвинул свою гипотезу, доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.

История и формулировка |

В 1942 году Атле Сельберг выдвинул^[1] гипотезу, что при фиксированном ε{displaystyle varepsilon } с условием 0<ε<0.001{displaystyle 0<varepsilon <0.001}, достаточно большом T{displaystyle T} и H=Ta+ε{displaystyle H=T^{a+varepsilon }}, a=2782=13−1246{displaystyle a={tfrac {27}{82}}={tfrac {1}{3}}-{tfrac {1}{246}}}, промежуток (T,T+H){displaystyle (T,T+H)} содержит не менее cHln⁡T{displaystyle cHln T} вещественных нулей дзета-функции Римана ζ(12+it){displaystyle zeta {Bigl (}{tfrac {1}{2}}+it{Bigr )}}. Сельберг доказал справедливость утверждения для случая H≥T1/2+ε{displaystyle Hgeq T^{1/2+varepsilon }}.

Доказательство гипотезы |

В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга^[2][3][4].

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при T→+∞{displaystyle Tto +infty }.

В 1992 г. А. А. Карацуба доказал^[5], что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков (T,T+H]{displaystyle (T,T+H]}, H=Tε{displaystyle H=T^{varepsilon }}, где ε{displaystyle varepsilon } — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках (T,T+H]{displaystyle (T,T+H]}, длина H{displaystyle H} которых растёт медленнее
любой, даже сколь угодно малой, степени T{displaystyle T}. В частности, он
доказал, что для любых заданных чисел ε{displaystyle varepsilon }, ε1{displaystyle varepsilon _{1}} с условием
0<ε,ε1<1{displaystyle 0<varepsilon ,varepsilon _{1}<1} почти все промежутки (T,T+H]{displaystyle (T,T+H]} при H≥exp⁡{(ln⁡T)ε}{displaystyle Hgeq exp {{(ln T)^{varepsilon }}}} содержат не менее H(ln⁡T)1−ε1{displaystyle H(ln T)^{1-varepsilon _{1}}} нулей функции ζ(12+it){displaystyle zeta {bigl (}{tfrac {1}{2}}+it{bigr )}}. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Примечания |