Vjylku

Алгебра Темперли — Либа — алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер-матрицы^[en]. Открыта Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Алгебра применяется в статистической механике, в теории интегрируемых моделей^[en], имеет отношение к теории узлов и группам кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.

Определение |

Пусть R{displaystyle R} — коммутативное кольцо (чаще всего — поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент δ∈R{displaystyle delta in R}. Алгеброй Темперли — Либа
TLn(δ){displaystyle TL_{n}(delta )} называется R{displaystyle R}-алгебра образованная генераторами U1,U2,…,Un−1{displaystyle U_{1},U_{2},ldots ,U_{n-1}}, подчиняющимися соотношениям Джонса:

• 
  Ui2=δUi{displaystyle U_{i}^{2}=delta U_{i}} при 1≤i≤n−1{displaystyle 1leq ileq n-1}
  


• 
  UiUi+1Ui=Ui{displaystyle U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}} при1≤i≤n−2{displaystyle 1leq ileq n-2}
  


• 
  UiUi−1Ui=Ui{displaystyle U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}} при 2≤i≤n−1{displaystyle 2leq ileq n-1}
  


• 
  UiUj=UjUi{displaystyle U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}} при 1≤i,j≤n−1{displaystyle 1leq i,jleq n-1}, таких что |i−j|≠1{displaystyle |i-j|neq 1}
  

TLn(δ){displaystyle TL_{n}(delta )} можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по n{displaystyle n} точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов TL3(δ){displaystyle TL_{3}(delta )} выглядят следующим образом:

.

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель δ. Например,

× = = δ .

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор Ui{displaystyle U_{i}} — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами TL5(δ){displaystyle TL_{5}(delta )} являются:

Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U₁, U₂, U₃, U₄.

Соотношения Джонса можно изобразить графически:

= δ

=

=

Ссылки |

• 
  Louis H. Kauffman, State Models and the Jones Polynomial. Topology, 26(3):395-407, 1987.


• 
  R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics Academic Press Inc., 1982.


• 
  N. Temperley, E. Lieb, Relations between the percolation and colouring problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolation problem. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251—280.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.