Vjylku

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и n{displaystyle n}-мерного объёма в n{displaystyle n}-мерном евклидовом пространстве.

Определение |

Меру Жордана можно определить как единственную конечно-аддитивную меру, определённую на кольце многогранников и удовлетворяющую следующим условиям:

1. Меры конгруэнтных многогранников равны.


2. Мера единичного куба равна единице.

Максимальное кольцо множеств, на которое мера Жордана продолжается единственным образом, называется кольцом квадрируемых множеств.

Построение |

Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.

Мера Жордана mΔ{displaystyle mDelta } параллелепипеда Δ=∏i=1n[ai,bi]{displaystyle Delta =prod _{i=1}^{n}[a_{i},;b_{i}]} в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} определяется как произведение

mΔ=∏i=1n(bi−ai).{displaystyle mDelta =prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}

Для ограниченного множества E⊂Rn{displaystyle Esubset mathbb {R} ^{n}} определяются:

• 
  внешняя мера Жордана
  

  meE=inf∑k=1NmΔk,⋃kΔk⊃E{displaystyle m_{e}E=inf sum _{k=1}^{N}mDelta _{k},quad bigcup _{k}Delta _{k}supset E}

  
  


• внутренняя мера Жордана
  

  
  miE=sup∑k=1NmΔk,⋃kΔk⊂E,Δk∩Δm=∅{displaystyle m_{i}E=sup sum _{k=1}^{N}mDelta _{k},quad bigcup _{k}Delta _{k}subset E,quad Delta _{k}cap Delta _{m}=varnothing }, если k≠m,{displaystyle kneq m,}
  

  
  

здесь Δ1,Δ2,…,ΔN{displaystyle Delta _{1},;Delta _{2},;ldots ,;Delta _{N}} — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество E{displaystyle E} называется измеримым по Жордану (или квадрируемым), если meE=miE{displaystyle m_{e}E=m_{i}E}. В этом случае мера Жордана равна mE=meE=miE{displaystyle mE=m_{e}E=m_{i}E}.

Свойства |

• Множества, измеримые по Жордану, образуют кольцо, на котором мера Жордана является конечно-аддитивной мерой.


• Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.


• Множество F{displaystyle F} измеримо по Жордану, если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0} существует пара многогранников P{displaystyle P} и Q{displaystyle Q} таких, что
  

  
  P⊂F⊂Q{displaystyle Psubset Fsubset Q} и mP+ε>mQ{displaystyle mP+varepsilon >mQ}.

  
  


• Ограниченное множество E⊂Rn{displaystyle Esubset mathbb {R} ^{n}} измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевую меру Жордана (или, что равносильно, когда его граница имеет нулевую меру Лебега). В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану.


• Внешняя мера Жордана одна и та же для E{displaystyle E} и E¯{displaystyle {bar {E}}} (замыкания множества E{displaystyle E}) и равна мере Бореля E¯{displaystyle {bar {E}}}.

История |

Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Пример множества, неизмеримого по Жордану |

Рассмотрим меру Жордана m{displaystyle m}, определённую на R{displaystyle mathbb {R} }. Пусть A=[0,1]={x∈R:0⩽x⩽1}{displaystyle A=left[0,1right]={xin mathbb {R} colon 0leqslant xleqslant 1}} — множество точек единичного отрезка., Q{displaystyle mathbb {Q} } — подмножество рациональных точек множества A{displaystyle A}, тогда Q{displaystyle mathbb {Q} }  — неизмеримое по Жордану множество, так как meQ=1,miQ=0,meQ≠miQ{displaystyle m_{e}mathbb {Q} =1,;m_{i}mathbb {Q} =0,;m_{e}mathbb {Q} neq m_{i}mathbb {Q} }, то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают (хотя это множество измеримо по Лебегу).

Литература |

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.


• 
  Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;


• 
  Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;


• 
  Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

См. также |

• Мера множества


• Мера Лебега


• Мера Хаусдорфа


• Мера Бореля