Vjylku

Списки интегралов
Элементарные функции Рациональные функции Иррациональные функции Тригонометрические функции Гиперболические функции Экспоненциальные функции Логарифмические функции Обратные тригонометрические функции Обратные гиперболические функции

Ссылки на статьи о тригонометрии

Тригонометрия

Обзор тригонометрии (англ.) История Использование (англ.) Функции (Обратные) Обобщённая тригонометрия (англ.)

Справочник

Тождества Точные константы (англ.) Таблицы Единичная окружность

Законы и теоремы

Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников

Математический анализ

Тригонометрическая подстановка (англ.) Интегралы (обратные функции) Производные (англ.)

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от тригонометрических функций. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.

Константа c{displaystyle c} не равняется нулю.

Интегралы, содержащие только синус |

∫sin⁡cxdx=−1ccos⁡cx{displaystyle int sin cx;dx=-{frac {1}{c}}cos cx}

∫sinn⁡cxdx=−sinn−1⁡cxcos⁡cxnc+n−1n∫sinn−2⁡cxdx( n>0){displaystyle int sin ^{n}cx;dx=-{frac {sin ^{n-1}cxcos cx}{nc}}+{frac {n-1}{n}}int sin ^{n-2}cx;dxqquad {mbox{( }}n>0{mbox{)}}}

∫xsin⁡cxdx=sin⁡cxc2−xcos⁡cxc{displaystyle int xsin cx;dx={frac {sin cx}{c^{2}}}-{frac {xcos cx}{c}}}

∫x2sin⁡cxdx=2cos⁡cxc3+2xsin⁡cxc2−x2cos⁡cxc{displaystyle int x^{2}sin cx;dx={frac {2cos cx}{c^{3}}}+{frac {2xsin cx}{c^{2}}}-{frac {x^{2}cos cx}{c}}}

∫x3sin⁡cxdx=−6sin⁡cxc4+6xcos⁡cxc3+3x2sin⁡cxc2−x3cos⁡cxc{displaystyle int x^{3}sin cx;dx=-{frac {6sin cx}{c^{4}}}+{frac {6xcos cx}{c^{3}}}+{frac {3x^{2}sin cx}{c^{2}}}-{frac {x^{3}cos cx}{c}}}

∫x4sin⁡cxdx=−24cos⁡cxc5−24xsin⁡cxc4+12x2cos⁡cxc3+4x3sin⁡cxc2−x4cos⁡cxc{displaystyle int x^{4}sin cx;dx=-{frac {24cos cx}{c^{5}}}-{frac {24xsin cx}{c^{4}}}+{frac {12x^{2}cos cx}{c^{3}}}+{frac {4x^{3}sin cx}{c^{2}}}-{frac {x^{4}cos cx}{c}}}

∫x5sin⁡cxdx=120sin⁡cxc6−120xcos⁡cxc5−60x2sin⁡cxc4+20x3cos⁡cxc3+5x4sin⁡cxc2−x5cos⁡cxc{displaystyle int x^{5}sin cx;dx={frac {120sin cx}{c^{6}}}-{frac {120xcos cx}{c^{5}}}-{frac {60x^{2}sin cx}{c^{4}}}+{frac {20x^{3}cos cx}{c^{3}}}+{frac {5x^{4}sin cx}{c^{2}}}-{frac {x^{5}cos cx}{c}}}

∫xnsin⁡cxdx=n!⋅sin⁡cx[xn−1c2⋅(n−1)!−xn−3c4⋅(n−3)!+xn−5c6⋅(n−5)!−...]−−n!⋅cos⁡cx[xnc⋅n!−xn−2c3⋅(n−2)!+xn−4c5⋅(n−4)!−...]{displaystyle {begin{aligned}int x^{n}sin cx;dx&=n!cdot sin cxleft[{frac {x^{n-1}}{c^{2}cdot (n-1)!}}-{frac {x^{n-3}}{c^{4}cdot (n-3)!}}+{frac {x^{n-5}}{c^{6}cdot (n-5)!}}-...right]-\&-n!cdot cos cxleft[{frac {x^{n}}{ccdot n!}}-{frac {x^{n-2}}{c^{3}cdot (n-2)!}}+{frac {x^{n-4}}{c^{5}cdot (n-4)!}}-...right]end{aligned}}}

∫xnsin⁡cxdx=−xnccos⁡cx+nc∫xn−1cos⁡cxdx( n>0){displaystyle int x^{n}sin cx;dx=-{frac {x^{n}}{c}}cos cx+{frac {n}{c}}int x^{n-1}cos cx;dxqquad {mbox{( }}n>0{mbox{)}}}

∫sin⁡cxxdx=∑i=0∞(−1)i(cx)2i+1(2i+1)⋅(2i+1)!{displaystyle int {frac {sin cx}{x}}dx=sum _{i=0}^{infty }(-1)^{i}{frac {(cx)^{2i+1}}{(2i+1)cdot (2i+1)!}}}

∫sin⁡cxxndx=−sin⁡cx(n−1)xn−1+cn−1∫cos⁡cxxn−1dx{displaystyle int {frac {sin cx}{x^{n}}}dx=-{frac {sin cx}{(n-1)x^{n-1}}}+{frac {c}{n-1}}int {frac {cos cx}{x^{n-1}}}dx}

∫dxsin⁡cx=1cln⁡|tg⁡cx2|{displaystyle int {frac {dx}{sin cx}}={frac {1}{c}}ln left|operatorname {tg} {frac {cx}{2}}right|}

∫dxsinn⁡cx=cos⁡cxc(1−n)sinn−1⁡cx+n−2n−1∫dxsinn−2⁡cx( n>1){displaystyle int {frac {dx}{sin ^{n}cx}}={frac {cos cx}{c(1-n)sin ^{n-1}cx}}+{frac {n-2}{n-1}}int {frac {dx}{sin ^{n-2}cx}}qquad {mbox{( }}n>1{mbox{)}}}

∫dx1±sin⁡cx=1ctg⁡(cx2∓π4){displaystyle int {frac {dx}{1pm sin cx}}={frac {1}{c}}operatorname {tg} left({frac {cx}{2}}mp {frac {pi }{4}}right)}

∫xdx1+sin⁡cx=xctg⁡(cx2−π4)+2c2ln⁡|cos⁡(cx2−π4)|{displaystyle int {frac {x;dx}{1+sin cx}}={frac {x}{c}}operatorname {tg} left({frac {cx}{2}}-{frac {pi }{4}}right)+{frac {2}{c^{2}}}ln left|cos left({frac {cx}{2}}-{frac {pi }{4}}right)right|}

∫xdx1−sin⁡cx=xcctg⁡(π4−cx2)+2c2ln⁡|sin⁡(π4−cx2)|{displaystyle int {frac {x;dx}{1-sin cx}}={frac {x}{c}}operatorname {ctg} left({frac {pi }{4}}-{frac {cx}{2}}right)+{frac {2}{c^{2}}}ln left|sin left({frac {pi }{4}}-{frac {cx}{2}}right)right|}

∫sin⁡cxdx1±sin⁡cx=±x+1ctg⁡(π4∓cx2){displaystyle int {frac {sin cx;dx}{1pm sin cx}}=pm x+{frac {1}{c}}operatorname {tg} left({frac {pi }{4}}mp {frac {cx}{2}}right)}

∫sin⁡c1xsin⁡c2xdx=sin⁡((c1−c2)x)2(c1−c2)−sin⁡((c1+c2)x)2(c1+c2)( |c1|≠|c2|){displaystyle int sin c_{1}xsin c_{2}x;dx={frac {sin((c_{1}-c_{2})x)}{2(c_{1}-c_{2})}}-{frac {sin((c_{1}+c_{2})x)}{2(c_{1}+c_{2})}}qquad {mbox{( }}|c_{1}|neq |c_{2}|{mbox{)}}}

Интегралы, содержащие только косинус |

∫cos⁡cxdx=1csin⁡cx{displaystyle int cos cx;dx={frac {1}{c}}sin cx}

∫cosn⁡cxdx=cosn−1⁡cxsin⁡cxnc+n−1n∫cosn−2⁡cxdx( n>0){displaystyle int cos ^{n}cx;dx={frac {cos ^{n-1}cxsin cx}{nc}}+{frac {n-1}{n}}int cos ^{n-2}cx;dxqquad {mbox{( }}n>0{mbox{)}}}

∫xcos⁡cxdx=cos⁡cxc2+xsin⁡cxc{displaystyle int xcos cx;dx={frac {cos cx}{c^{2}}}+{frac {xsin cx}{c}}}

∫xncos⁡cxdx=xnsin⁡cxc−nc∫xn−1sin⁡cxdx{displaystyle int x^{n}cos cx;dx={frac {x^{n}sin cx}{c}}-{frac {n}{c}}int x^{n-1}sin cx;dx}

∫cos⁡cxxdx=ln⁡|cx|+∑i=1∞(−1)i(cx)2i2i⋅(2i)!{displaystyle int {frac {cos cx}{x}}dx=ln |cx|+sum _{i=1}^{infty }(-1)^{i}{frac {(cx)^{2i}}{2icdot (2i)!}}}

∫cos⁡cxxndx=−cos⁡cx(n−1)xn−1−cn−1∫sin⁡cxxn−1dx( n≠1){displaystyle int {frac {cos cx}{x^{n}}}dx=-{frac {cos cx}{(n-1)x^{n-1}}}-{frac {c}{n-1}}int {frac {sin cx}{x^{n-1}}}dxqquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫dxcos⁡cx=1cln⁡|tg⁡(cx2+π4)|{displaystyle int {frac {dx}{cos cx}}={frac {1}{c}}ln left|operatorname {tg} left({frac {cx}{2}}+{frac {pi }{4}}right)right|}

∫dxcosn⁡cx=sin⁡cxc(n−1)cosn−1⁡cx+n−2n−1∫dxcosn−2⁡cx( n>1){displaystyle int {frac {dx}{cos ^{n}cx}}={frac {sin cx}{c(n-1)cos ^{n-1}cx}}+{frac {n-2}{n-1}}int {frac {dx}{cos ^{n-2}cx}}qquad {mbox{( }}n>1{mbox{)}}}

∫dx1+cos⁡cx=1ctg⁡cx2{displaystyle int {frac {dx}{1+cos cx}}={frac {1}{c}}operatorname {tg} {frac {cx}{2}}}

∫dx1−cos⁡cx=−1cctg⁡cx2{displaystyle int {frac {dx}{1-cos cx}}=-{frac {1}{c}}operatorname {ctg} {frac {cx}{2}}}

∫xdx1+cos⁡cx=xctg⁡cx2+2c2ln⁡|cos⁡cx2|{displaystyle int {frac {x;dx}{1+cos cx}}={frac {x}{c}}operatorname {tg} {frac {cx}{2}}+{frac {2}{c^{2}}}ln left|cos {frac {cx}{2}}right|}

∫xdx1−cos⁡cx=−xcctg⁡cx2+2c2ln⁡|sin⁡cx2|{displaystyle int {frac {x;dx}{1-cos cx}}=-{frac {x}{c}}operatorname {ctg} {frac {cx}{2}}+{frac {2}{c^{2}}}ln left|sin {frac {cx}{2}}right|}

∫cos⁡cxdx1+cos⁡cx=x−1ctg⁡cx2{displaystyle int {frac {cos cx;dx}{1+cos cx}}=x-{frac {1}{c}}operatorname {tg} {frac {cx}{2}}}

∫cos⁡cxdx1−cos⁡cx=−x−1cctg⁡cx2{displaystyle int {frac {cos cx;dx}{1-cos cx}}=-x-{frac {1}{c}}operatorname {ctg} {frac {cx}{2}}}

∫cos⁡c1xcos⁡c2xdx=sin⁡(c1−c2)x2(c1−c2)+sin⁡(c1+c2)x2(c1+c2)( |c1|≠|c2|){displaystyle int cos c_{1}xcos c_{2}x;dx={frac {sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}+{frac {sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}qquad {mbox{( }}|c_{1}|neq |c_{2}|{mbox{)}}}

Интегралы, содержащие только тангенс |

∫tg⁡cxdx=−1cln⁡|cos⁡cx|{displaystyle int operatorname {tg} cx;dx=-{frac {1}{c}}ln |cos cx|}

∫tgn⁡cxdx=1c(n−1)tgn−1⁡cx−∫tgn−2⁡cxdx( n≠1){displaystyle int operatorname {tg} ^{n}cx;dx={frac {1}{c(n-1)}}operatorname {tg} ^{n-1}cx-int operatorname {tg} ^{n-2}cx;dxqquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫dxtg⁡cx+1=x2+12cln⁡|sin⁡cx+cos⁡cx|{displaystyle int {frac {dx}{operatorname {tg} cx+1}}={frac {x}{2}}+{frac {1}{2c}}ln |sin cx+cos cx|}

∫dxtg⁡cx−1=−x2+12cln⁡|sin⁡cx−cos⁡cx|{displaystyle int {frac {dx}{operatorname {tg} cx-1}}=-{frac {x}{2}}+{frac {1}{2c}}ln |sin cx-cos cx|}

∫tg⁡cxdxtg⁡cx+1=x2−12cln⁡|sin⁡cx+cos⁡cx|{displaystyle int {frac {operatorname {tg} cx;dx}{operatorname {tg} cx+1}}={frac {x}{2}}-{frac {1}{2c}}ln |sin cx+cos cx|}

∫tg⁡cxdxtg⁡cx−1=x2+12cln⁡|sin⁡cx−cos⁡cx|{displaystyle int {frac {operatorname {tg} cx;dx}{operatorname {tg} cx-1}}={frac {x}{2}}+{frac {1}{2c}}ln |sin cx-cos cx|}

Интегралы, содержащие только секанс |

∫sec⁡cxdx=1cln⁡|sec⁡cx+tg⁡cx|{displaystyle int sec {cx},dx={frac {1}{c}}ln {left|sec {cx}+operatorname {tg} {cx}right|}}

∫secn⁡cxdx=secn−1⁡cxsin⁡cxc(n−1)+n−2n−1∫secn−2⁡cxdx ( n≠1){displaystyle int sec ^{n}{cx},dx={frac {sec ^{n-1}{cx}sin {cx}}{c(n-1)}},+,{frac {n-2}{n-1}}int sec ^{n-2}{cx},dxqquad {mbox{ ( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫dxsec⁡x+1=x−tg⁡x2{displaystyle int {frac {dx}{sec {x}+1}}=x-operatorname {tg} {frac {x}{2}}}

Интегралы, содержащие только косеканс |

∫cosec⁡cxdx=−1cln⁡|cosec⁡cx+ctg⁡cx|{displaystyle int operatorname {cosec} {cx},dx=-{frac {1}{c}}ln {left|operatorname {cosec} {cx}+operatorname {ctg} {cx}right|}}

∫cosecn⁡cxdx=−cosecn−1⁡cxcos⁡cxc(n−1)+n−2n−1∫cosecn−2⁡cxdx ( n≠1){displaystyle int operatorname {cosec} ^{n}{cx},dx=-{frac {operatorname {cosec} ^{n-1}{cx}cos {cx}}{c(n-1)}},+,{frac {n-2}{n-1}}int operatorname {cosec} ^{n-2}{cx},dxqquad {mbox{ ( }}nneq 1{mbox{)}}}

Интегралы, содержащие только котангенс |

∫ctg⁡cxdx=1cln⁡|sin⁡cx|{displaystyle int operatorname {ctg} cx;dx={frac {1}{c}}ln |sin cx|}

∫ctgn⁡cxdx=−1c(n−1)ctgn−1⁡cx−∫ctgn−2⁡cxdx( n≠1){displaystyle int operatorname {ctg} ^{n}cx;dx=-{frac {1}{c(n-1)}}operatorname {ctg} ^{n-1}cx-int operatorname {ctg} ^{n-2}cx;dxqquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫dx1+ctg⁡cx=∫tg⁡cxdxtg⁡cx+1{displaystyle int {frac {dx}{1+operatorname {ctg} cx}}=int {frac {operatorname {tg} cx;dx}{operatorname {tg} cx+1}}}

∫dx1−ctg⁡cx=∫tg⁡cxdxtg⁡cx−1{displaystyle int {frac {dx}{1-operatorname {ctg} cx}}=int {frac {operatorname {tg} cx;dx}{operatorname {tg} cx-1}}}

Интегралы, содержащие только синус и косинус |

∫dxcos⁡cx±sin⁡cx=1c2ln⁡|tg⁡(cx2±π8)|{displaystyle int {frac {dx}{cos cxpm sin cx}}={frac {1}{c{sqrt {2}}}}ln left|operatorname {tg} left({frac {cx}{2}}pm {frac {pi }{8}}right)right|}

∫dx(cos⁡cx±sin⁡cx)2=12ctg⁡(cx∓π4){displaystyle int {frac {dx}{(cos cxpm sin cx)^{2}}}={frac {1}{2c}}operatorname {tg} left(cxmp {frac {pi }{4}}right)}

∫dx(cos⁡x+sin⁡x)n=1n−1(sin⁡x−cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)n−1−2(n−2)∫dx(cos⁡x+sin⁡x)n−2){displaystyle int {frac {dx}{(cos x+sin x)^{n}}}={frac {1}{n-1}}left({frac {sin x-cos x}{(cos x+sin x)^{n-1}}}-2(n-2)int {frac {dx}{(cos x+sin x)^{n-2}}}right)}

∫cos⁡cxdxcos⁡cx+sin⁡cx=x2+12cln⁡|sin⁡cx+cos⁡cx|{displaystyle int {frac {cos cx;dx}{cos cx+sin cx}}={frac {x}{2}}+{frac {1}{2c}}ln left|sin cx+cos cxright|}

∫cos⁡cxdxcos⁡cx−sin⁡cx=x2−12cln⁡|sin⁡cx−cos⁡cx|{displaystyle int {frac {cos cx;dx}{cos cx-sin cx}}={frac {x}{2}}-{frac {1}{2c}}ln left|sin cx-cos cxright|}

∫sin⁡cxdxcos⁡cx+sin⁡cx=x2−12cln⁡|sin⁡cx+cos⁡cx|{displaystyle int {frac {sin cx;dx}{cos cx+sin cx}}={frac {x}{2}}-{frac {1}{2c}}ln left|sin cx+cos cxright|}

∫sin⁡cxdxcos⁡cx−sin⁡cx=−x2−12cln⁡|sin⁡cx−cos⁡cx|{displaystyle int {frac {sin cx;dx}{cos cx-sin cx}}=-{frac {x}{2}}-{frac {1}{2c}}ln left|sin cx-cos cxright|}

∫cos⁡cxdxsin⁡cx(1+cos⁡cx)=−14ctg2⁡cx2+12cln⁡|tg⁡cx2|{displaystyle int {frac {cos cx;dx}{sin cx(1+cos cx)}}=-{frac {1}{4c}}operatorname {tg} ^{2}{frac {cx}{2}}+{frac {1}{2c}}ln left|operatorname {tg} {frac {cx}{2}}right|}

∫cos⁡cxdxsin⁡cx(1−cos⁡cx)=−14cctg2⁡cx2−12cln⁡|tg⁡cx2|{displaystyle int {frac {cos cx;dx}{sin cx(1-cos cx)}}=-{frac {1}{4c}}operatorname {ctg} ^{2}{frac {cx}{2}}-{frac {1}{2c}}ln left|operatorname {tg} {frac {cx}{2}}right|}

∫sin⁡cxdxcos⁡cx(1+sin⁡cx)=14cctg2⁡(cx2+π4)+12cln⁡|tg⁡(cx2+π4)|{displaystyle int {frac {sin cx;dx}{cos cx(1+sin cx)}}={frac {1}{4c}}operatorname {ctg} ^{2}left({frac {cx}{2}}+{frac {pi }{4}}right)+{frac {1}{2c}}ln left|operatorname {tg} left({frac {cx}{2}}+{frac {pi }{4}}right)right|}

∫sin⁡cxdxcos⁡cx(1−sin⁡cx)=14ctg2⁡(cx2+π4)−12cln⁡|tg⁡(cx2+π4)|{displaystyle int {frac {sin cx;dx}{cos cx(1-sin cx)}}={frac {1}{4c}}operatorname {tg} ^{2}left({frac {cx}{2}}+{frac {pi }{4}}right)-{frac {1}{2c}}ln left|operatorname {tg} left({frac {cx}{2}}+{frac {pi }{4}}right)right|}

∫sin⁡cxcos⁡cxdx=12csin2⁡cx{displaystyle int sin cxcos cx;dx={frac {1}{2c}}sin ^{2}cx}

∫sin⁡c1xcos⁡c2xdx=−cos⁡(c1+c2)x2(c1+c2)−cos⁡(c1−c2)x2(c1−c2)( |c1|≠|c2|){displaystyle int sin c_{1}xcos c_{2}x;dx=-{frac {cos(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}-{frac {cos(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}qquad {mbox{( }}|c_{1}|neq |c_{2}|{mbox{)}}}

∫sinn⁡cxcos⁡cxdx=1c(n+1)sinn+1⁡cx( n≠1){displaystyle int sin ^{n}cxcos cx;dx={frac {1}{c(n+1)}}sin ^{n+1}cxqquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫sin⁡cxcosn⁡cxdx=−1c(n+1)cosn+1⁡cx( n≠1){displaystyle int sin cxcos ^{n}cx;dx=-{frac {1}{c(n+1)}}cos ^{n+1}cxqquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫sinn⁡cxcosm⁡cxdx=−sinn−1⁡cxcosm+1⁡cxc(n+m)+n−1n+m∫sinn−2⁡cxcosm⁡cxdx( m,n>0){displaystyle int sin ^{n}cxcos ^{m}cx;dx=-{frac {sin ^{n-1}cxcos ^{m+1}cx}{c(n+m)}}+{frac {n-1}{n+m}}int sin ^{n-2}cxcos ^{m}cx;dxqquad {mbox{( }}m,n>0{mbox{)}}}

∫sinn⁡cxcosm⁡cxdx=sinn+1⁡cxcosm−1⁡cxc(n+m)+m−1n+m∫sinn⁡cxcosm−2⁡cxdx( m,n>0){displaystyle int sin ^{n}cxcos ^{m}cx;dx={frac {sin ^{n+1}cxcos ^{m-1}cx}{c(n+m)}}+{frac {m-1}{n+m}}int sin ^{n}cxcos ^{m-2}cx;dxqquad {mbox{( }}m,n>0{mbox{)}}}

∫dxsin⁡cxcos⁡cx=1cln⁡|tg⁡cx|{displaystyle int {frac {dx}{sin cxcos cx}}={frac {1}{c}}ln left|operatorname {tg} cxright|}

∫dxsin⁡cxcosn⁡cx=1c(n−1)cosn−1⁡cx+∫dxsin⁡cxcosn−2⁡cx( n≠1){displaystyle int {frac {dx}{sin cxcos ^{n}cx}}={frac {1}{c(n-1)cos ^{n-1}cx}}+int {frac {dx}{sin cxcos ^{n-2}cx}}qquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫dxsinn⁡cxcos⁡cx=−1c(n−1)sinn−1⁡cx+∫dxsinn−2⁡cxcos⁡cx( n≠1){displaystyle int {frac {dx}{sin ^{n}cxcos cx}}=-{frac {1}{c(n-1)sin ^{n-1}cx}}+int {frac {dx}{sin ^{n-2}cxcos cx}}qquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫sin⁡cxdxcosn⁡cx=1c(n−1)cosn−1⁡cx( n≠1){displaystyle int {frac {sin cx;dx}{cos ^{n}cx}}={frac {1}{c(n-1)cos ^{n-1}cx}}qquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫sin2⁡cxdxcos⁡cx=−1csin⁡cx+1cln⁡|tg⁡(π4+cx2)|{displaystyle int {frac {sin ^{2}cx;dx}{cos cx}}=-{frac {1}{c}}sin cx+{frac {1}{c}}ln left|operatorname {tg} left({frac {pi }{4}}+{frac {cx}{2}}right)right|}

∫sin2⁡cxdxcosn⁡cx=sin⁡cxc(n−1)cosn−1⁡cx−1n−1∫dxcosn−2⁡cx( n≠1){displaystyle int {frac {sin ^{2}cx;dx}{cos ^{n}cx}}={frac {sin cx}{c(n-1)cos ^{n-1}cx}}-{frac {1}{n-1}}int {frac {dx}{cos ^{n-2}cx}}qquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫sinn⁡cxdxcos⁡cx=−sinn−1⁡cxc(n−1)+∫sinn−2⁡cxdxcos⁡cx( n≠1){displaystyle int {frac {sin ^{n}cx;dx}{cos cx}}=-{frac {sin ^{n-1}cx}{c(n-1)}}+int {frac {sin ^{n-2}cx;dx}{cos cx}}qquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫sinn⁡cxdxcosm⁡cx=sinn+1⁡cxc(m−1)cosm−1⁡cx−n−m+2m−1∫sinn⁡cxdxcosm−2⁡cx( m≠1){displaystyle int {frac {sin ^{n}cx;dx}{cos ^{m}cx}}={frac {sin ^{n+1}cx}{c(m-1)cos ^{m-1}cx}}-{frac {n-m+2}{m-1}}int {frac {sin ^{n}cx;dx}{cos ^{m-2}cx}}qquad {mbox{( }}mneq 1{mbox{)}}}

∫sinn⁡cxdxcosm⁡cx=−sinn−1⁡cxc(n−m)cosm−1⁡cx+n−1n−m∫sinn−2⁡cxdxcosm⁡cx( m≠n){displaystyle int {frac {sin ^{n}cx;dx}{cos ^{m}cx}}=-{frac {sin ^{n-1}cx}{c(n-m)cos ^{m-1}cx}}+{frac {n-1}{n-m}}int {frac {sin ^{n-2}cx;dx}{cos ^{m}cx}}qquad {mbox{( }}mneq n{mbox{)}}}

∫sinn⁡cxdxcosm⁡cx=sinn−1⁡cxc(m−1)cosm−1⁡cx−n−1m−1∫sinn−1⁡cxdxcosm−2⁡cx( m≠1){displaystyle int {frac {sin ^{n}cx;dx}{cos ^{m}cx}}={frac {sin ^{n-1}cx}{c(m-1)cos ^{m-1}cx}}-{frac {n-1}{m-1}}int {frac {sin ^{n-1}cx;dx}{cos ^{m-2}cx}}qquad {mbox{( }}mneq 1{mbox{)}}}

∫cos⁡cxdxsinn⁡cx=−1c(n−1)sinn−1⁡cx( n≠1){displaystyle int {frac {cos cx;dx}{sin ^{n}cx}}=-{frac {1}{c(n-1)sin ^{n-1}cx}}qquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫cos2⁡cxdxsin⁡cx=1c(cos⁡cx+ln⁡|tg⁡cx2|){displaystyle int {frac {cos ^{2}cx;dx}{sin cx}}={frac {1}{c}}left(cos cx+ln left|operatorname {tg} {frac {cx}{2}}right|right)}

∫cos2⁡cxdxsinn⁡cx=−1n−1(cos⁡cxcsinn−1⁡cx)+∫dxsinn−2⁡cx)( n≠1){displaystyle int {frac {cos ^{2}cx;dx}{sin ^{n}cx}}=-{frac {1}{n-1}}left({frac {cos cx}{csin ^{n-1}cx)}}+int {frac {dx}{sin ^{n-2}cx}}right)qquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

∫cosn⁡cxdxsinm⁡cx=−cosn+1⁡cxc(m−1)sinm−1⁡cx−n−m−2m−1∫cosncxdxsinm−2⁡cx( m≠1){displaystyle int {frac {cos ^{n}cx;dx}{sin ^{m}cx}}=-{frac {cos ^{n+1}cx}{c(m-1)sin ^{m-1}cx}}-{frac {n-m-2}{m-1}}int {frac {cos^{n}cx;dx}{sin ^{m-2}cx}}qquad {mbox{( }}mneq 1{mbox{)}}}

∫cosn⁡cxdxsinm⁡cx=cosn−1⁡cxc(n−m)sinm−1⁡cx+n−1n−m∫cosn−2cxdxsinm⁡cx( m≠n){displaystyle int {frac {cos ^{n}cx;dx}{sin ^{m}cx}}={frac {cos ^{n-1}cx}{c(n-m)sin ^{m-1}cx}}+{frac {n-1}{n-m}}int {frac {cos^{n-2}cx;dx}{sin ^{m}cx}}qquad {mbox{( }}mneq n{mbox{)}}}

∫cosn⁡cxdxsinm⁡cx=−cosn−1⁡cxc(m−1)sinm−1⁡cx−n−1m−1∫cosn−2cxdxsinm−2⁡cx( m≠1){displaystyle int {frac {cos ^{n}cx;dx}{sin ^{m}cx}}=-{frac {cos ^{n-1}cx}{c(m-1)sin ^{m-1}cx}}-{frac {n-1}{m-1}}int {frac {cos^{n-2}cx;dx}{sin ^{m-2}cx}}qquad {mbox{( }}mneq 1{mbox{)}}}

Интегралы, содержащие только синус и тангенс |

∫sin⁡cxtg⁡cxdx=1c(ln⁡|sec⁡cx+tg⁡cx|−sin⁡cx){displaystyle int sin cxoperatorname {tg} cx;dx={frac {1}{c}}(ln |sec cx+operatorname {tg} cx|-sin cx)}

∫tgn⁡cxdxsin2⁡cx=1c(n−1)tgn−1⁡(cx)( n≠1){displaystyle int {frac {operatorname {tg} ^{n}cx;dx}{sin ^{2}cx}}={frac {1}{c(n-1)}}operatorname {tg} ^{n-1}(cx)qquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

Интегралы, содержащие только косинус и тангенс |

∫tgn⁡cxdxcos2⁡cx=1c(n+1)tgn+1⁡cx( n≠−1){displaystyle int {frac {operatorname {tg} ^{n}cx;dx}{cos ^{2}cx}}={frac {1}{c(n+1)}}operatorname {tg} ^{n+1}cxqquad {mbox{( }}nneq -1{mbox{)}}}

Интегралы, содержащие только синус и котангенс |

∫ctgn⁡cxdxsin2⁡cx=1c(n+1)ctgn+1⁡cx( n≠−1){displaystyle int {frac {operatorname {ctg} ^{n}cx;dx}{sin ^{2}cx}}={frac {1}{c(n+1)}}operatorname {ctg} ^{n+1}cxqquad {mbox{( }}nneq -1{mbox{)}}}

Интегралы, содержащие только косинус и котангенс |

∫ctgn⁡cxdxcos2⁡cx=1c(1−n)tg1−n⁡cx( n≠1){displaystyle int {frac {operatorname {ctg} ^{n}cx;dx}{cos ^{2}cx}}={frac {1}{c(1-n)}}operatorname {tg} ^{1-n}cxqquad {mbox{( }}nneq 1{mbox{)}}}

Интегралы, содержащие только тангенс и котангенс |

∫tgm⁡(cx)ctgn⁡(cx)dx=1c(m+n−1)tgm+n−1⁡(cx)−∫tgm−2⁡(cx)ctgn⁡(cx)dx( m+n≠1){displaystyle int {frac {operatorname {tg} ^{m}(cx)}{operatorname {ctg} ^{n}(cx)}};dx={frac {1}{c(m+n-1)}}operatorname {tg} ^{m+n-1}(cx)-int {frac {operatorname {tg} ^{m-2}(cx)}{operatorname {ctg} ^{n}(cx)}};dxqquad {mbox{( }}m+nneq 1{mbox{)}}}

Библиография

Книги

• Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
  


• 
  Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.


• D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.


• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
  


• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.

Таблицы интегралов

• Интегралы на EqWorld


• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas

Вычисление интегралов

• 
  The Integrator (на Wolfram Research)
  


• Империя Чисел