Vjylku

Выпуклая оболочка, альфа-форма и минимальное остовное дерево двумерного множества данных.

Альфа-форма или α{displaystyle {boldsymbol {alpha }}}-форма — это семейство кусочно-линейных простых кривых на евклидовой плоскости, ассоциированных с формой конечного множества точек. Альфа-формы первым определили Эдельсбруннер, Киркпатрик и Зайдель ^[1]. Альфа-форма, ассоциированная с множеством точек является обобщением концепции выпуклой оболочки, то есть любая выпуклая оболочка является альфа-формой, но не любая альфа-форма является выпуклой оболочкой.

Описание |

Для любого вещественного числа α{displaystyle alpha } определим концепцию обобщённого диска радиуса 1/α{displaystyle 1/alpha } следующим образом:

• Если α=0{displaystyle alpha =0}, это замкнутая полуплоскость;


• Если α>0{displaystyle alpha >0}, это замкнутый диск радиуса 1/α{displaystyle 1/alpha };


• Если α<0{displaystyle alpha <0}, это замыкание дополнения диска радиуса −1/α{displaystyle -1/alpha }.

Тогда ребро альфа-формы рисуется между двумя точками конечного множества, когда существует обобщённый диск радиуса 1/α{displaystyle 1/alpha }, содержащий всё множество точек и обладающий свойством, что две точки лежат на его границе.

Если α=0{displaystyle alpha =0}, то альфа-форма, ассоциированная с конечным множеством точек, является обычной выпуклой оболочкой.

Альфа-комплекс |

Альфа-формы тесно связаны с альфа-комплексами, подкомплексами триангуляции Делоне множества точек.

Каждое ребро треугольника триангуляции Делоне может быть ассоциировано с характеристическим радиусом, ребром наименьшей пустой окружности, содержащей ребро треугольника. Для каждого вещественного числа α{displaystyle alpha }, α{displaystyle alpha }-комплекс заданного множества точек является симплициальным комплексом, образованным набором рёбер и треугольников, чьи радиусы не превосходят 1/α.{displaystyle 1/alpha .}

Объединение рёбер и треугольников в α{displaystyle alpha }-комплексе формирует форму, близко походящую на α{displaystyle alpha }-форму, однако она отличается тем, что имеет кусочно-линейные рёбра, а не дуги окружностей. Более того, Эдельсбруннер^[2] показал, что две формы гомотопно эквивалентны. (В этой, более поздней работе, Эдельсбруннер использовал название α{displaystyle alpha }-форма для обозначения ячеек α{displaystyle alpha }-комплека, а для криволинейной формы использовал название α{displaystyle alpha }-тело.)

Примеры |

Эту технику можно применять для реконструкции поверхности Ферми из электронной спектральной функции Блоха, вычисленной на уровне Ферми, как полученной из функции Грина. Поверхность Ферми тогда определяется как множество противоположных точек пространства внутри первой зоны Бриллюэна, где сигнал наибольший.
Такое определение имеет преимущество, что оно перекрывает различные случаи нарушений.

Поверхность Ферми серебра: реконструкция альфа-формы из KKR^[en] реконструкции спектральной функции Блоха

См. также |

• Бета-остов

Примечания |

Литература |

Ссылки |

• 
  2D Альфа-Формы и 3D Альфа-Формы библиотеке алгоритмов вычислительной геометрии (англ. Computational Geometry Algorithms Library)


• 
  Альфа-Клмплекс в библиотеке GUDHI.


• 
  Описание и имплементация в университете Дьюка
  


• 
  Всё, что вы хотите знать о альфа-формах, но боялись спросить – с иллюстрациями и интерактивной демонстрацией


• Имплемнтация альфа-форм в 3D для реконструкции 3D множеств из точек в R


• 
  Описание деталей имплементации альфа-форм – Лекции, дающие описание формальных и интуитивных аспектов имплементации альфа-форм


• 
  Альфа оболочки, формы и взвешенные объекты – Слайды лекций Робрерта Плесса из Вашингтонского университета
  

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Проверить статью на грамматические и орфографические ошибки.