Гипотеза Сельберга о дзета-функции История и формулировка...
Дзета- и L-функцииДоказанные математические гипотезы
дзета-функции РиманаАтле Сельбергомвторой гипотезы Харди—Литтлвудадзета-функции РиманаА. А. КарацубаА. А. КарацубыА. А. КарацубаКарацубойгипотезы Римана
Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it), выдвинутая Атле Сельбергом.
Гипотеза Сельберга является усилением второй гипотезы Харди—Литтлвудаruen.
Сельберг выдвинул свою гипотезу, доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.
История и формулировка |
В 1942 году Атле Сельберг выдвинул[1] гипотезу, что при фиксированном ε{displaystyle varepsilon } с условием 0<ε<0.001{displaystyle 0<varepsilon <0.001}, достаточно большом T{displaystyle T} и H=Ta+ε{displaystyle H=T^{a+varepsilon }}, a=2782=13−1246{displaystyle a={tfrac {27}{82}}={tfrac {1}{3}}-{tfrac {1}{246}}}, промежуток (T,T+H){displaystyle (T,T+H)} содержит не менее cHlnT{displaystyle cHln T} вещественных нулей дзета-функции Римана ζ(12+it){displaystyle zeta {Bigl (}{tfrac {1}{2}}+it{Bigr )}}. Сельберг доказал справедливость утверждения для случая H≥T1/2+ε{displaystyle Hgeq T^{1/2+varepsilon }}.
Доказательство гипотезы |
В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга[2][3][4].
Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при T→+∞{displaystyle Tto +infty }.
В 1992 г. А. А. Карацуба доказал[5], что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков (T,T+H]{displaystyle (T,T+H]}, H=Tε{displaystyle H=T^{varepsilon }}, где ε{displaystyle varepsilon } — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках (T,T+H]{displaystyle (T,T+H]}, длина H{displaystyle H} которых растёт медленнее
любой, даже сколь угодно малой, степени T{displaystyle T}. В частности, он
доказал, что для любых заданных чисел ε{displaystyle varepsilon }, ε1{displaystyle varepsilon _{1}} с условием
0<ε,ε1<1{displaystyle 0<varepsilon ,varepsilon _{1}<1} почти все промежутки (T,T+H]{displaystyle (T,T+H]} при H≥exp{(lnT)ε}{displaystyle Hgeq exp {{(ln T)^{varepsilon }}}} содержат не менее H(lnT)1−ε1{displaystyle H(ln T)^{1-varepsilon _{1}}} нулей функции ζ(12+it){displaystyle zeta {bigl (}{tfrac {1}{2}}+it{bigr )}}. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.
![(T,T+H]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7f206ba185f5e71e82482b52823f9cab4a9d99)
Примечания |
↑ Selberg, A. (1942). “On the zeros of Riemann's zeta-function”. Shr. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1—59..mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output q{quotes:"""""""'""'"}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}
↑ Карацуба, А. А. (1984). “О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой”. Изв. РАН. Сер. матем. (48:3): 569—584.
↑ Карацуба, А. А. (1984). “Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)”. Изв. РАН. Сер. матем. (48:6): 1214—1224.
↑ Карацуба, А. А. (1985). “О нулях дзета-функции Римана на критической прямой”. Труды МИАН (167): 167—178.
↑ Карацуба, А. А. (1992). “О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой”. Изв. РАН. Сер. матем. (56:2): 372—397.
