Граница (топология) Содержание Определение | Свойства |...

Multi tool use
Multi tool use


Общая топологияМатематический анализ


множествотопологическое пространствомножествотопологияокрестностичисловую прямуюстандартной топологией





Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.




Содержание






  • 1 Определение


  • 2 Свойства


  • 3 Примеры


  • 4 См. также





Определение |


Пусть дано топологическое пространство (X,T){displaystyle (X,{mathcal {T}})}, где X{displaystyle X} — произвольное множество, а T{displaystyle {mathcal {T}}} — определённая на X{displaystyle X} топология. Пусть A⊂X.{displaystyle Asubset X.} Точка x0∈X{displaystyle x_{0}in X} называется грани́чной то́чкой мно́жества A{displaystyle A}, если для любой её окрестности U∈T,U∋x0{displaystyle Uin {mathcal {T}},Uni x_{0}} справедливо:


U∩A≠,U∩A∁.{displaystyle Ucap Aneq varnothing ,;Ucap A^{complement }neq varnothing .}

Множество всех граничных точек множества A{displaystyle A} называется границей множества A{displaystyle A} или границей множества A{displaystyle A} в X{displaystyle X} и обозначается A{displaystyle partial A} или XA{displaystyle partial _{X}A} если необходимо подчеркнуть, что A{displaystyle A} рассматривается как подмножество объемлющего пространства X{displaystyle X}.



Свойства |



  • A=∂(A∁);{displaystyle partial A=partial left(A^{complement }right);}

  • A=A¯A∘;{displaystyle partial A={bar {A}}setminus A^{circ };}


  • A{displaystyle partial A} — замкнутое множество;


  • A{displaystyle A} — открытое множество тогда и только тогда, когда A∩A=∅;{displaystyle Acap partial A=emptyset ;}


  • A{displaystyle A} — замкнутое множество тогда и только тогда, когда A⊂A;{displaystyle partial Asubset A;}


  • A{displaystyle A} — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда A=∅;{displaystyle partial A=emptyset ;}


  • A⊂A{displaystyle partial partial Asubset partial A}, причем равенство A=∂A{displaystyle partial partial A=partial A} достигается тогда и только тогда, когда (∂A)∘=∅;{displaystyle (partial A)^{circ }=emptyset ;}

  • A=∂A.{displaystyle partial partial partial A=partial partial A.}



Примеры |


Рассмотрим числовую прямую R{displaystyle mathbb {R} } со стандартной топологией. Тогда: для <a<b<+∞{displaystyle -infty <a<b<+infty }:



  • Для <a<b<+∞{displaystyle -infty <a<b<+infty }: (a,b)=∂(a,b]=∂[a,b)=∂[a,b]={a,b};{displaystyle partial (a,b)=partial (a,b]=partial [a,b)=partial [a,b]={a,b};}

  • R=∅;{displaystyle partial mathbb {R} =varnothing ;}

  • Q=R.{displaystyle partial mathbb {Q} =mathbb {R} .}



См. также |



  • Край многообразия

  • Замыкание (топология)




hjHlbQj,G9b1c CuPLhqpZBVj0rpQ54IhY4wkgPaCBFMHFR,O b84UrGw5 tybmb9Fb m3oYIf
FFkha1ZpUb5N

Popular posts from this blog

Щит и меч (фильм) Содержание Названия серий | Сюжет |...

Венесуэла на летних Олимпийских играх 2000 Содержание Состав...

Meter-Bus Содержание Параметры шины | Стандартизация |...