Vjylku

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение |

Пусть дано топологическое пространство (X,T){displaystyle (X,{mathcal {T}})}, где X{displaystyle X} — произвольное множество, а T{displaystyle {mathcal {T}}} — определённая на X{displaystyle X} топология. Пусть A⊂X.{displaystyle Asubset X.} Точка x0∈X{displaystyle x_{0}in X} называется грани́чной то́чкой мно́жества A{displaystyle A}, если для любой её окрестности U∈T,U∋x0{displaystyle Uin {mathcal {T}},Uni x_{0}} справедливо:

U∩A≠∅,U∩A∁≠∅.{displaystyle Ucap Aneq varnothing ,;Ucap A^{complement }neq varnothing .}

Множество всех граничных точек множества A{displaystyle A} называется границей множества A{displaystyle A} или границей множества A{displaystyle A} в X{displaystyle X} и обозначается ∂A{displaystyle partial A} или ∂XA{displaystyle partial _{X}A} если необходимо подчеркнуть, что A{displaystyle A} рассматривается как подмножество объемлющего пространства X{displaystyle X}.

Свойства |

• ∂A=∂(A∁);{displaystyle partial A=partial left(A^{complement }right);}


• ∂A=A¯∖A∘;{displaystyle partial A={bar {A}}setminus A^{circ };}


• 
  ∂A{displaystyle partial A} — замкнутое множество;


• 
  A{displaystyle A} — открытое множество тогда и только тогда, когда A∩∂A=∅;{displaystyle Acap partial A=emptyset ;}
  


• 
  A{displaystyle A} — замкнутое множество тогда и только тогда, когда ∂A⊂A;{displaystyle partial Asubset A;}
  


• 
  A{displaystyle A} — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда ∂A=∅;{displaystyle partial A=emptyset ;}
  


• 
  ∂∂A⊂∂A{displaystyle partial partial Asubset partial A}, причем равенство ∂∂A=∂A{displaystyle partial partial A=partial A} достигается тогда и только тогда, когда (∂A)∘=∅;{displaystyle (partial A)^{circ }=emptyset ;}
  


• ∂∂∂A=∂∂A.{displaystyle partial partial partial A=partial partial A.}

Примеры |

Рассмотрим числовую прямую R{displaystyle mathbb {R} } со стандартной топологией. Тогда: для −∞<a<b<+∞{displaystyle -infty <a<b<+infty }:

• Для −∞<a<b<+∞{displaystyle -infty <a<b<+infty }: ∂(a,b)=∂(a,b]=∂[a,b)=∂[a,b]={a,b};{displaystyle partial (a,b)=partial (a,b]=partial [a,b)=partial [a,b]={a,b};}
  


• ∂R=∅;{displaystyle partial mathbb {R} =varnothing ;}


• ∂Q=R.{displaystyle partial mathbb {Q} =mathbb {R} .}

См. также |

• Край многообразия


• Замыкание (топология)