Vjylku

Стациона́рное распределе́ние цепи Маркова — это такое распределение вероятности, которое не меняется с течением времени.

Определение |

Пусть {Xn}n≥0{displaystyle {X_{n}}_{ngeq 0}} — однородная цепь Маркова с дискретным временем, счётным пространством состояний {1,2,…}{displaystyle {1,2,ldots }}, и матрицей переходных вероятностей P=(pij),i,j=1,2,…{displaystyle P=(p_{ij}),;i,j=1,2,ldots }. Тогда дискретное распределение q=(q1,q2,…){displaystyle mathbf {q} =(q_{1},q_{2},ldots )} называется стациона́рным (инвариа́нтным), если

qP=q{displaystyle mathbf {q} P=mathbf {q} }.

Замечание |

Если q{displaystyle mathbf {q} } — начальное распределение цепи {Xn}{displaystyle {X_{n}}}, то есть

P(X0=i)=qi,i∈N{displaystyle mathbb {P} (X_{0}=i)=q_{i},quad iin mathbb {N} },

то и распределение всех остальных членов Xn,n≥1{displaystyle X_{n},ngeq 1} также совпадает с q{displaystyle mathbf {q} }.

Основная теорема о стационарных распределениях |

Пусть {Xn}n≥0{displaystyle {X_{n}}_{ngeq 0}} — цепь Маркова с дискретным пространством состояний. Тогда у этой цепи существует единственное стационарное распределение тогда и только тогда, когда она

1. 
   неразложима;


2. 
   положительно возвратна.

См. также |

• 
  Эргодическое распределение.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.