Vjylku

Неравенство Гюйгенса - популярное наименование в русскоязычной литературе одного из частных случаев неравенства Йенсена.

Формулировка |

Пусть a1,…,an∈R+{displaystyle a_{1},dots ,a_{n}in {mathbb {R} }_{+}}. Тогда

1+∏i=1nain≤∏i=1n(1+ai)n{displaystyle 1+{sqrt[{n}]{prod _{i=1}^{n}{a_{i}}}}leq {sqrt[{n}]{prod limits _{i=1}^{n}{(1+a_{i})}}}}

Связь с неравенством Йенсена |

Логарифмируя обе части неравенства и переобозначая ai=exi{displaystyle a_{i}=e^{x_{i}}}, получим

ln⁡(1+e1n∑i=1nxi)≤1n∑i=1nln⁡(1+exi){displaystyle ln(1+e^{{frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}}})leq {frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}{ln {(1+e^{x_{i}})}}}

А это - в точности неравенство Йенсена для функции f(x)=ln⁡(1+ex){displaystyle f(x)=ln {(1+e^{x})}}, которая выпукла, поскольку

f′(x)=ex1+ex=1−11+ex{displaystyle f'(x)={frac {e^{x}}{1+e^{x}}}=1-{frac {1}{1+e^{x}}}}

f″(x)=1(1+ex)2>0{displaystyle f''(x)={frac {1}{(1+e^{x})^{2}}}>0}

Нетривиальность нервенства |

Переобозначая xi=ain{displaystyle x_{i}={sqrt[{n}]{a_{i}}}} и возводя обе части неравенства в n{displaystyle n}-тую степень, получим. что оно эквивалетно неравенству

(1+∏i=1nxi)n≤∏i=1n(1+xin){displaystyle {left({1+prod limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}right)}^{n}leq prod limits _{i=1}^{n}{(1+{x_{i}}^{n})}}

После раскрытия скобок у левой и правой части окажутся два общих слагаемых - 1{displaystyle 1} и ∏i=1nxin{displaystyle prod limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{n}}}. В случаях когда либо все xi<1{displaystyle x_{i}<1}, либо когда все xi>1{displaystyle x_{i}>1}, какое-то одно из этих слагаемых оказывается наибольшим, какое-то - наименьшим, а значения остальных (без учёта коэффициентов при них после раскрытия бинома Ньютона) оказываются между ними. Именно неравенство между суммами совершенно разных произведений этих промежуточных слагаемых представляет собой основную сложность для вывода неравенства напрямую, без неравенства Йенсена.

Литература |

• Л. В. Радзивиловский. Обобщение перестановочного неравенства и монгольское неравенство // Математическое Просвещение. — 2006. — № 10.