Vjylku

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

В линейной алгебре базис векторного пространства размерности n{displaystyle n} — это последовательность из n{displaystyle n} векторов (α1,...,αn){displaystyle (alpha _{1},...,alpha _{n})}, таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто необходимо работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода.

Определение |

Если векторы b1,⋯,bn{displaystyle mathbf {b_{1}} ,cdots ,mathbf {b_{n}} } выражаются через векторы a1,⋯,an{displaystyle mathbf {a_{1}} ,cdots ,mathbf {a_{n}} } как:

b1=α11a1+α12a2+…+α1nan{displaystyle mathbf {b} _{1}=alpha _{11}mathbf {a} _{1}+alpha _{12}mathbf {a} _{2}+ldots +alpha _{1n}mathbf {a} _{n}}.

b2=α21a1+α22a2+…+α2nan{displaystyle mathbf {b} _{2}=alpha _{21}mathbf {a} _{1}+alpha _{22}mathbf {a} _{2}+ldots +alpha _{2n}mathbf {a} _{n}}.

…{displaystyle ldots }.

bn=αn1a1+αn2a2+…+αnnan{displaystyle mathbf {b} _{n}=alpha _{n1}mathbf {a} _{1}+alpha _{n2}mathbf {a} _{2}+ldots +alpha _{nn}mathbf {a} _{n}}.

то матрица перехода от базиса (a1,⋯,an){displaystyle (mathbf {a_{1}} ,cdots ,mathbf {a_{n}} )} к базису (b1,⋯,bn{displaystyle (mathbf {b_{1}} ,cdots ,mathbf {b_{n}} }) будет:

(α11α21...αn1α12α22...αn2............α1nα2n...αnn){displaystyle {begin{pmatrix}alpha _{11}&alpha _{21}&...&alpha _{n1}\alpha _{12}&alpha _{22}&...&alpha _{n2}\...&...&...&...\alpha _{1n}&alpha _{2n}&...&alpha _{nn}end{pmatrix}}}

Использование |

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису a1,a2,…,an{displaystyle a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}}, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис b1,b2,…,bn{displaystyle b_{1},b_{2},ldots ,b_{n}}.

Пример |

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

[x′y′]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy]{displaystyle {begin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}}

Свойства |

• 
  Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.


• Pe→e′−1=Pe′→e{displaystyle P_{erightarrow e'}^{-1}=P_{e'rightarrow e}}

Пример поиска матрицы |

Найдём матрицу перехода от базиса a1=(12−1),a2=(−1−42),a3=(510){displaystyle a_{1}={begin{pmatrix}1\2\-1end{pmatrix}},a_{2}={begin{pmatrix}-1\-4\2end{pmatrix}},a_{3}={begin{pmatrix}5\1\0end{pmatrix}}} к единичному базису b1=(100),b2=(010),b3=(001){displaystyle b_{1}={begin{pmatrix}1\0\0end{pmatrix}},b_{2}={begin{pmatrix}0\1\0end{pmatrix}},b_{3}={begin{pmatrix}0\0\1end{pmatrix}}}
путём элементарных преобразований

(1−151002−41010−120001)→(1002−10−190101−5−9001012){displaystyle left({begin{array}{ccc|ccc}1&-1&5&1&0&0\2&-4&1&0&1&0\-1&2&0&0&0&1end{array}}right)rightarrow left({begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&2&-10&-19\0&1&0&1&-5&-9\0&0&1&0&1&2end{array}}right)}
следовательно
Pa→b=(2−10−191−5−9012){displaystyle P_{arightarrow b}={begin{pmatrix}2&-10&-19\1&-5&-9\0&1&2end{pmatrix}}}

См. также |

• Цепи Маркова


• Стохастическая матрица


• Матрица поворота

Ссылки |

• Матрицы перехода от базиса к базису

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.