Vjylku

Теория интегрируемых систем — раздел математической физики, изучающий недиссипативные решения дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных. Такие системы имеют соответствующие высшие симметрии.

С-интегрируемые системы |

Под С-интегрируемыми понимают такие системы, решения которых могут быть представлены в явном виде не сложнее, чем через квадратуры — интегралы, зависящие от начальных данных задачи.

Примеры |

Гамильтоновы интегрируемые системы и метод обратной задачи рассеяния |

Метод обратной задачи рассеяния подразумевает, что уравнение в частных производных можно представить в виде пары Лакса - системы двух линейных операторов, условием совместности которых будет рассматриваемая система.

Примеры |

• уравнение синус-Гордона

∂2u∂t∂x=sin⁡uu=u(x,t){displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial tpartial x}}=sin uqquad u=u(x,t)}

есть условие совместности системы ∂ψ→∂t=−12λ(0exp⁡(iu)exp⁡(iu)0)ψ→,∂ψ→∂x=−12(−i∂u∂xλλi∂u∂x)ψ→,ψ→=(ψ1(x,t)ψ2(x,t)){displaystyle {frac {partial {vec {psi }}}{partial t}}=-{frac {1}{2lambda }}{begin{pmatrix}0&exp(iu)\exp(iu)&0end{pmatrix}}{vec {psi }},qquad {frac {partial {vec {psi }}}{partial x}}=-{frac {1}{2}}{begin{pmatrix}-i{frac {partial u}{partial x}}&lambda \lambda &i{frac {partial u}{partial x}}end{pmatrix}}{vec {psi }},qquad {vec {psi }}={begin{pmatrix}psi _{1}(x,t)\psi _{2}(x,t)end{pmatrix}}}

• нелинейное уравнение Шрёдингера


• уравнение Кортевега — де Фриза

Построение решений |

Интегрируемые системы и симметрии |

Интегрируемые цепочки |

Примеры |

• Цепочка Тоды


• Цепочка Бенни

См. также |

• Солитон


• Нелинейная динамика


• нелинейное уравнение Шредингера


• Уравнение Кортевега — де Фриза


• Уравнение синус-Гордона

Примечания |

Литература |

• Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.


• 
  Шрёдингера уравнение нелинейное — статья из Физической энциклопедии
  


• Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.


• Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. - М., 1987.


• Лэм Дж., Введение в теорию солитонов, пер. с англ., М.,1983.


• Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев — Гамильтонов подход в теории солитонов.- М.; Наука, 1986, 527 стр.