Vjylku

Пример описанного четырёхугольника

В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.

Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.

Специальные случаи |

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными ^[1]. Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется бицентральным^[en].

Свойства |

BE+BF=DE+DF{displaystyle BE+BF=DE+DF} или AE−EC=AF−FC.{displaystyle AE-EC=AF-FC.}. Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности^[2].

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:

a+c=b+d=a+b+c+d2=s.{displaystyle a+c=b+d={frac {a+b+c+d}{2}}=s.}

Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным. ^[3][2]

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющийся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда ^[2]

BE+BF=DE+DF{displaystyle displaystyle BE+BF=DE+DF}

или

AE−EC=AF−FC.{displaystyle displaystyle AE-EC=AF-FC.}

Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта^[en]. Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга^[4].

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда ^[5]

tan⁡∠ABD2⋅tan⁡∠BDC2=tan⁡∠ADB2⋅tan⁡∠DBC2.{displaystyle tan {frac {angle ABD}{2}}cdot tan {frac {angle BDC}{2}}=tan {frac {angle ADB}{2}}cdot tan {frac {angle DBC}{2}}.}

Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда

RaRc=RbRd{displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}},

где R_a, R_b, R_c, R_d являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны ^[6].

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки |

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь |

Нетригонометрические формулы |

Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой

K=r⋅s{displaystyle K=rcdot s},

где s — полупериметр и r — радиус вписанной окружности. Ещё одна формула^[7]

K=12p2q2−(ac−bd)2{displaystyle K={tfrac {1}{2}}{sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}},

дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e, f, g, h, то касательный четырёхугольник имеет площадь ^[1]

K=(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef).{displaystyle K={sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h^[8]

K=abcd−(eg−fh)2.{displaystyle K={sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, ^[9] получаем, что максимальная площадь abcd{displaystyle {sqrt {abcd}}} может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы |

Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a, b, c, d и двух противоположных сторон ^{[7][10][11][12]}

K=abcdsin⁡A+C2=abcdsin⁡B+D2.{displaystyle K={sqrt {abcd}}sin {frac {A+C}{2}}={sqrt {abcd}}sin {frac {B+D}{2}}.}

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным. В этом случае K=abcd{displaystyle K={sqrt {abcd}}}, поскольку противоположные углы являются дополнительными. Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ^[13].

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD, использующая два противоположных угла^[11]

K=(OA⋅OC+OB⋅OD)sin⁡A+C2{displaystyle K=left(OAcdot OC+OBcdot ODright)sin {frac {A+C}{2}}},

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов ^[7]

K=absin⁡B2csc⁡D2sin⁡B+D2.{displaystyle K=absin {frac {B}{2}}csc {frac {D}{2}}sin {frac {B+D}{2}}.}

Есть ещё одна формула^[7]

K=12|(ac−bd)tan⁡θ|,{displaystyle K={tfrac {1}{2}}|(ac-bd)tan {theta }|,}

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства |

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству

K≤abcd{displaystyle Kleq {sqrt {abcd}}}

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным^[en].

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр s описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

s≥4r{displaystyle sgeq 4r},

где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом. ^[14] Это означает, что для площади K = rs, выполняется неравенство

K≥4r2{displaystyle Kgeq 4r^{2}}

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.

Свойства частей четырёхугольника |

Описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r.

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида^?!.

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами, то эта линия проходит через инцентр^[2].

Радиус вписанной окружности |

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой ^[7]

r=Ks=Ka+c=Kb+d{displaystyle r={frac {K}{s}}={frac {K}{a+c}}={frac {K}{b+d}}},

где K — площадь четырёхугольника, а s — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности ^[15][16].

r=efg+fgh+ghe+hefe+f+g+h.{displaystyle displaystyle r={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то

r=2(σ−uvx)(σ−vxy)(σ−xyu)(σ−yuv)uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx){displaystyle r=2{sqrt {frac {(sigma -uvx)(sigma -vxy)(sigma -xyu)(sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}},

где σ=12(uvx+vxy+xyu+yuv){displaystyle sigma ={tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}^[17].

Формулы для углов |

Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам^[1]

sin⁡A2=efg+fgh+ghe+hef(e+f)(e+g)(e+h),{displaystyle sin {frac {A}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}

sin⁡B2=efg+fgh+ghe+hef(f+e)(f+g)(f+h),{displaystyle sin {frac {B}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}

sin⁡C2=efg+fgh+ghe+hef(g+e)(g+f)(g+h),{displaystyle sin {frac {C}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}

sin⁡D2=efg+fgh+ghe+hef(h+e)(h+f)(h+g).{displaystyle sin {frac {D}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой^[1](см. рисунок)

sin⁡φ=(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)(e+f)(f+g)(g+h)(h+e).{displaystyle sin {varphi }={sqrt {frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}

Диагонали |

Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равны^[18]

p=e+gf+h((e+g)(f+h)+4fh),{displaystyle displaystyle p={sqrt {{frac {e+g}{f+h}}{Big (}(e+g)(f+h)+4fh{Big )}}},}

q=f+he+g((e+g)(f+h)+4eg).{displaystyle displaystyle q={sqrt {{frac {f+h}{e+g}}{Big (}(e+g)(f+h)+4eg{Big )}}}.}

Хорды точек касания |

Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны^[1]

k=2(efg+fgh+ghe+hef)(e+f)(g+h)(e+g)(f+h),{displaystyle displaystyle k={frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}

l=2(efg+fgh+ghe+hef)(e+h)(f+g)(e+g)(f+h),{displaystyle displaystyle l={frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},}

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению ^[1]

k2l2=bdac.{displaystyle {frac {k^{2}}{l^{2}}}={frac {bd}{ac}}.}

Две хорды

• 
  перпендикулярны тогда и только тогда, когда четырёхугольник также и вписан ^[19].


• имеют одинаковые длины тогда и только тогда, описанный четырёхугольник является дельтоидом^[20].

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA^[21].

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных BMDN{displaystyle {tfrac {BM}{DN}}} равно отношению BPDP{displaystyle {tfrac {BP}{DP}}} отрезков диагонали BD.^[22]

Коллинеарные точки |

Прямая Нагеля QO и ортоцентры H_M, H_N, H_K, H_L

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M₃ — середина отрезка EF, тогда точки M₃, M₁, O, и M₂ лежат на одной прямой^[23] Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямой^[24]

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если T_M, T_K, T_N, T_L являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТ_M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых T_NT_M и T_KT_L. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника^[25].

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть H_M, H_K, H_N, H_L являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, H_M, H_K, H_N и H_L лежат на одной прямой.^[11]

Конкурентные и перпендикулярные прямые |

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке).^[12] Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.^[11]

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружности^[26].

Свойства вписанной окружности |

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих сторон^[11]

ABCD=OA⋅OBOC⋅OD,BCDA=OB⋅OCOD⋅OA.{displaystyle {frac {AB}{CD}}={frac {OAcdot OB}{OCcdot OD}},quad quad {frac {BC}{DA}}={frac {OBcdot OC}{ODcdot OA}}.}

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению^[27]

AB⋅BC=OB2+OA⋅OB⋅OCOD.{displaystyle ABcdot BC=OB^{2}+{frac {OAcdot OBcdot OC}{OD}}.}

Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то^[11]

OA⋅OC+OB⋅OD=AB⋅BC⋅CD⋅DA.{displaystyle OAcdot OC+OBcdot OD={sqrt {ABcdot BCcdot CDcdot DA}}.}

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда^[11]

OA⋅OC=OB⋅OD.{displaystyle OAcdot OC=OBcdot OD.}

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то^[11][28]

OM1OM2=OA⋅OCOB⋅OD=e+gf+h,{displaystyle {frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={frac {OAcdot OC}{OBcdot OD}}={frac {e+g}{f+h}},}

где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C
и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центом вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклым^[29][30] (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса abcd/s{displaystyle {sqrt {abcd}}/s}, где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.

Свойства четырёх внутренних треугольников |

Описание Чао и Симеонова (Chao, Simeonov) в терминах радиусов окружностей, вписанных в каждый из четырёх и треугольников

Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.

Пусть r₁, r₂, r₃ и r₄ означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда^[31]

1r1+1r3=1r2+1r4.{displaystyle {frac {1}{r_{1}}}+{frac {1}{r_{3}}}={frac {1}{r_{2}}}+{frac {1}{r_{4}}}.}

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном^[32][33].
В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через h_M, h_K, h_N и h_L обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда ^[5][33]

1hM+1hN=1hK+1hL.{displaystyle {frac {1}{h_{M}}}+{frac {1}{h_{N}}}={frac {1}{h_{K}}}+{frac {1}{h_{L}}}.}

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей r_M, r_K, r_N и r_L для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда ^[34]

1rM+1rN=1rK+1rL.{displaystyle {frac {1}{r_{M}}}+{frac {1}{r_{N}}}={frac {1}{r_{K}}}+{frac {1}{r_{L}}}.}

Если R_M, R_K, R_N и R_L — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то треугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда ^[35]

RM+RN=RK+RL.{displaystyle R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.}

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах^[36]. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник ^[37]. Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника^[38].

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружности^[39] (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если R_m, R_n, R_k и R_l — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет ^[40]

1Rm+1Rn=1Rk+1Rl.{displaystyle {frac {1}{R_{m}}}+{frac {1}{R_{n}}}={frac {1}{R_{k}}}+{frac {1}{R_{l}}}.}

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда ^[5]

m△(APB)+n△(CPD)=k△(BPC)+l△(DPA){displaystyle {frac {m}{triangle (APB)}}+{frac {n}{triangle (CPD)}}={frac {k}{triangle (BPC)}}+{frac {l}{triangle (DPA)}}}

где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = p_a и PC = p_c. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = p_b и PD = p_d. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:^[41]

mpcpd+npaqb=kpapd+lpcpb{displaystyle mp_{c}p_{d}+np_{a}q_{b}=kp_{a}p_{d}+lp_{c}p_{b}}

или ^[37]

(pa+pb−m)(pc+pd−n)(pa+pb+m)(pc+pd+n)=(pc+pb−k)(pa+pd−l)(pc+pb+k)(pa+pd+l){displaystyle {frac {(p_{a}+p_{b}-m)(p_{c}+p_{d}-n)}{(p_{a}+p_{b}+m)(p_{c}+p_{d}+n)}}={frac {(p_{c}+p_{b}-k)(p_{a}+p_{d}-l)}{(p_{c}+p_{b}+k)(p_{a}+p_{d}+l)}}}

или^[42]

(m+pa−pb)(n+pc−pd)(m−pa+pb)(n−pc+pd)=(k+pc−pb)(l+pa−pd)(k−pc+pb)(l−pa+pd).{displaystyle {frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n-p_{c}+p_{d})}}={frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_{c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.}

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника |

Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны^[43].

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда^[19][24]

• хорда MN перпендикулярна KL
  


• AMMB=DNNC{displaystyle {frac {AM}{MB}}={frac {DN}{NC}}}


• ACBD=AM+CNBK+DL{displaystyle {frac {AC}{BD}}={frac {AM+CN}{BK+DL}}}

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон^[44].

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:^[45]

• Площадь равна половине произведения диагоналей
  


• Диагонали перпендикулярны
  


• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины


• Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины


• 
  Средние линии имеют одинаковые длины


• Произведения противоположных сторон равны


• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

См. также |

• Описанная окружность


• Внекасательный четырёхугольник^[en]


• Описанная трапеция^[en]


• Вписанная в треугольник окружность

Примечания |

Ссылки |

• Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Birkhäuser, 2006.


• Helen. On a circle attached to a collapsible four-bar // American Mathematical Monthly. — 1926. — Т. 33, вып. 9.


• Alexander Bogomolny. When A Quadrilateral Is Inscriptible? // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.


• C.V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry // Dover reprint. — 2003.


• Victor Bryant, John Duncan. Wheels within wheels // Mathematical Gazette. — 2010. — Вып. 94, November.


• Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14.


• Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly. — 2000. — Т. 107, вып. 7. — DOI:10.2307/2589133.


• Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.


• 
  

Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — Т. 11.

• John P. Hoyt. Quickies, Q694 // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57, вып. 4.


• John P. Hoyt. Maximizing the Area of a Trapezium // American Mathematical Monthly. — 1986. — Т. 93, вып. 1. — DOI:10.2307/2322549.

• Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10.

Martin Josefsson. On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — Т. 10.

• Martin Josefsson. Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010c. — Т. 10.


• Martin Josefsson. When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. — 2011a. — Т. 11.


• Martin Josefsson. More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2011b. — Т. 11.


• Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011c. — Т. 11.


• Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12.


• Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. — 2012b. — Т. 12.


• Nicusor Minculete. Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2009. — Т. 9.


• Alexei Myakishev. On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6.


• A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometry. — Cambridge Univ. Press, 1929.


• И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров. (Решение задачи) M1495 // Квант. — 1995. — Вып. 6.


• Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вып. 95, March.

Внешние ссылки |

• 
  Weisstein, Eric W. Tangential Quadrilateral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.