Vjylku

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число a{displaystyle a} называется пределом последовательности {xn}{displaystyle {x_{n}}}, если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0} существует номер Nε{displaystyle N_{varepsilon }}, зависящий от ε{displaystyle varepsilon }, такой, что для любого n>Nε{displaystyle n>N_{varepsilon }} выполняется неравенство  |xn−a|<ε{displaystyle |x_{n}-a|<varepsilon }.

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.^[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

История |

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение |

Число a∈R{displaystyle ain mathbb {R} } называется пределом числовой последовательности {xn}{displaystyle {x_{n}}}, если последовательность {xn−a}{displaystyle {x_{n}-a}} является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

limn→∞xn=a ⇔ ∀ε>0 ∃N(ε)∈N: n⩾N ⇒|xn−a|<ε{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=a~Leftrightarrow ~forall varepsilon >0~exists N(varepsilon )in mathbb {N} colon ~ngeqslant N~Rightarrow |x_{n}-a|<varepsilon }

Если число a∈R{displaystyle ain mathbb {R} } является пределом числовой последовательности {xn}{displaystyle {x_{n}}}, то говорят также, что последовательность {xn}{displaystyle {x_{n}}} сходится к a{displaystyle a}.
Если никакое вещественное число не является пределом последовательности {xn}{displaystyle {x_{n}}}, её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности.
А именно, говорят, что последовательность {xn}{displaystyle {x_{n}}} стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа.
Формально,

limn→∞xn=∞ ⇔ ∀E>0 ∃N(E)∈N: ∀n⩾N⇒|xn|>E{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=infty ~Leftrightarrow ~forall E>0~exists N(E)in mathbb {N} colon ~forall ngeqslant NRightarrow |x_{n}|>E}

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

limn→∞xn=+∞ ⇔ ∀E>0 ∃N(E)∈N: ∀n⩾N⇒xn>E{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=+infty ~Leftrightarrow ~forall E>0~exists N(E)in mathbb {N} colon ~forall ngeqslant NRightarrow x_{n}>E}

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

limn→∞xn=−∞ ⇔ ∀E>0 ∃N(E)∈N: ∀n⩾N⇒xn<−E{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=-infty ~Leftrightarrow ~forall E>0~exists N(E)in mathbb {N} colon ~forall ngeqslant NRightarrow x_{n}<-E}

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения |

Тот факт, что последовательность {xn}{displaystyle {x_{n}}} сходится к числу a{displaystyle a} обозначается одним из следующих способов:

• limn→∞xn=a{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=a}

или

• xn →n→∞ a{displaystyle x_{n}~{xrightarrow[{nto infty }]{}}~a}

Свойства |

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.^[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Свойства |

Арифметические свойства |

• взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
  
  
  
  • 
    Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
    

    limn→∞(xn+yn)=limn→∞xn+limn→∞yn{displaystyle lim _{nto infty }(x_{n}+y_{n})=lim _{nto infty }x_{n}+lim _{nto infty }y_{n}}

    
    
  
  
  • 
    Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
    

    ∀k∈R:limn→∞kxn=klimn→∞xn{displaystyle forall kin mathbb {R} colon lim _{nto infty }kx_{n}=klim _{nto infty }x_{n}}

    
    
  
  
  
  


• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
  

  limn→∞(xn⋅yn)=limn→∞xn⋅limn→∞yn{displaystyle lim _{nto infty }(x_{n}cdot y_{n})=lim _{nto infty }x_{n}cdot lim _{nto infty }y_{n}}

  
  


• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
  

  limn→∞xnyn=limn→∞xnlimn→∞yn{displaystyle lim _{nto infty }{frac {x_{n}}{y_{n}}}={frac {lim limits _{nto infty }x_{n}}{lim limits _{nto infty }y_{n}}}}

  
  

Свойства сохранения порядка |

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
  

  ∃N∈N ∀n⩾N:xn⩽a ⇒ limn→∞xn⩽a{displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}leqslant a~Rightarrow ~lim _{nto infty }x_{n}leqslant a}

  
  


• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
  

  ∃N∈N ∀n⩾N:xn⩾a ⇒ limn→∞xn⩾a{displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}geqslant a~Rightarrow ~lim _{nto infty }x_{n}geqslant a}

  
  


• Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
  

  ∃N∈N ∀n⩾N:xn<a ⇒ limn→∞xn⩽a{displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}<a~Rightarrow ~lim _{nto infty }x_{n}leqslant a}

  
  


• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
  

  ∃N∈N ∀n⩾N:xn>a ⇒ limn→∞xn⩾a{displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}>a~Rightarrow ~lim _{nto infty }x_{n}geqslant a}

  
  


• Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
  

  ∃N∈N ∀n⩾N:xn⩽yn ⇒ limn→∞xn⩽limn→∞yn{displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}leqslant y_{n}~Rightarrow ~lim _{nto infty }x_{n}leqslant lim _{nto infty }y_{n}}

  
  


• Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).
  

  ∃N∈N ∀n⩾N:xn⩽zn⩽yn ⇒ limn→∞xn⩽limn→∞zn⩽limn→∞yn{displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}leqslant z_{n}leqslant y_{n}~Rightarrow ~lim _{nto infty }x_{n}leqslant lim _{nto infty }z_{n}leqslant lim _{nto infty }y_{n}}

  
  

Другие свойства |

• Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.
  

  limn→∞xn=a ∧ limn→∞xn=b ⇒ a=b{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=a~land ~lim _{nto infty }x_{n}=b~Rightarrow ~a=b}

  
  

• 
  Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.
  

  ∀n∈N:xn∈[a, b] ⇒ limn→∞xn∈[a, b]{displaystyle forall nin mathbb {N} colon x_{n}in [a,~b]~Rightarrow ~lim _{nto infty }x_{n}in [a,~b]}

  
  

• Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.
  

  limn→∞x=x{displaystyle lim _{nto infty }x=x}

  
  

• Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

• Имеет место теорема Штольца.

• Если у последовательности xn{displaystyle x_{n}} существует предел, то последовательность средних арифметических x1+⋯+xnn{displaystyle {frac {x_{1}+dots +x_{n}}{n}}} имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

• Если у последовательности чисел {xn}{displaystyle {x_{n}}} существует предел x{displaystyle x}, и если задана функция f(x){displaystyle f(x)}, определённая для каждого xn{displaystyle x_{n}} и непрерывная в точке x{displaystyle x}, то
  

  limn→∞f(xn)=f(x){displaystyle lim _{nto infty }{f(x_{n})}=f(x)}

  
  

Примеры |

• limn→∞1n=limn→∞(−1)nn=0{displaystyle lim _{nto infty }{frac {1}{n}}=lim _{nto infty }{frac {(-1)^{n}}{n}}=0}

• ∀q∈R:limn→∞qnn!=0{displaystyle forall qin mathbb {R} colon lim _{nto infty }{frac {q^{n}}{n!}}=0}

• limn→∞nn=1{displaystyle lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{n}}=1}

• limn→∞(1+1n)n=e{displaystyle lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}=e}

• ∀a∈R∖{0}:limn→∞a+a+⋯+a⏟n=1+1+4a2{displaystyle forall ain mathbb {R} setminus {0}colon lim _{nto infty }underbrace {sqrt {a+{sqrt {a+cdots +{sqrt {a}}}}}} _{n}={frac {1+{sqrt {1+4a}}}{2}}}

• limn→∞xn=x ⇒ limn→∞∏k=1nxkn=x{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=x~Rightarrow ~lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=x}

• ∀n∈N:xn>0 ⇒ limn→∞xn+1xn=limn→∞xnn{displaystyle forall nin mathbb {N} colon x_{n}>0~Rightarrow ~lim _{nto infty }{frac {x_{n+1}}{x_{n}}}=lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{x_{n}}}}

• limn→∞n=+∞{displaystyle lim _{nto infty }n=+infty }

• ∄limn→∞(−1)n{displaystyle nexists lim _{nto infty }(-1)^{n}}

Случай комплексных чисел |

Комплексное число a{displaystyle a} называется пределом последовательности {zn}{displaystyle {z_{n}}}, если для любого положительного числа ε{displaystyle varepsilon } можно указать такой номер N=N(ε){displaystyle N=N(varepsilon )}, начиная с которого все элементы zn{displaystyle z_{n}} этой последовательности удовлетворяют неравенству
|zn−a|<ε{displaystyle |z_{n}-a|<varepsilon } при n⩾N(ε){displaystyle ngeqslant N(varepsilon )}

Последовательность {zn}{displaystyle {z_{n}}}, имеющая предел a{displaystyle a}, называется сходящейся к числу a{displaystyle a}, что записывается в виде limn→∞zn=a{displaystyle lim limits _{nto infty }z_{n}=a}.

Примеры |

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве xn{displaystyle x_{n}} последовательность xn=(−1)n{displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}, то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, 1,−1{displaystyle 1,-1}, то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

См. также |

• Частичный предел


• Замечательные пределы


• Фундаментальная последовательность


• Ряд


• Предел функции


• Неопределённости пределов


• Сравнение бесконечно малых величин


• Последовательность

Примечания |