Vjylku

Задача плоской деформации — ряд задач, рассматриваемых в теории упругости и теории пластичности. В ней рассматриваются вопросы, отличающиеся по содержанию, но объединенные математическим методом решения.

В задаче о плоской деформации рассматривается частное решение уравнений теории упругости, в котором перемещения u,v{displaystyle u,v} предполагаются не зависящими от координаты x3=z{displaystyle x_{3}=z}, тогда как w{displaystyle w} не зависит от x,y{displaystyle x,y}, а его зависимость от z{displaystyle z} может быть линейной:

u=u(x,y),v=v(x,y),w=ez+w0(1){displaystyle u=u(x,y),quad v=v(x,y),quad w=ez+w_{0}qquad (1)}

Очевидным следствием этих предположений является отсутствие напряжений τzx,τyz{displaystyle tau _{zx},tau _{yz}}:

τzx=μ(∂u∂z+∂w∂x)=0,τyz=μ(∂v∂z+∂w∂y)=0{displaystyle tau _{zx}=mu left({frac {partial u}{partial z}}+{frac {partial w}{partial x}}right)=0,quad tau _{yz}=mu left({frac {partial v}{partial z}}+{frac {partial w}{partial y}}right)=0}

и независимость от z остающихся компонент σx,σy,τxy,σz{displaystyle sigma _{x},sigma _{y},tau _{xy},sigma _{z}} тензора напряжений.

Плоская деформация реализуется, например, в призматическом теле, теоретически бесконечной длины, нагруженном поверхностными и объемными силами, перпендикулярными оси z. Тогда все поперечные сечения тела находятся в одинаковых условиях, чем оправдывается задание перемещений в форме (1). Это позволяет вместо рассмотрения всей области, занятой телом, ограничиться рассмотрением его элемента, выделенного двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми равно единице. Главный вектор и главный момент относительно оси x3{displaystyle x_{3}} внешних сил, приложенных к элементу, по условию должны обращаться в нуль. Исходя из равенств (1) и закона Гука, можно получить значения компонент тензора деформаций.