Vjylku

Условия Гюгонио — условия, которые должны выполняться на линиях разрыва решений уравнений газовой динамики, как следствия интегральных законов сохранения.

Пусть x=x(t)−{displaystyle x=x(t)-} уравнение одной из линий разрыва гидродинамических величин, которую будем предполагать на рассматриваемом отрезке t1⩽t⩽t2{displaystyle t_{1}leqslant tleqslant t_{2}} обладающей непрерывной касательной

Пусть f(x,t){displaystyle f(x,t)} терпит разрыв на линии x=x(t){displaystyle x=x(t)}.

Обозначим:
f1(t)=f(x(t)−0,t);{displaystyle f_{1}(t)=f(x(t)-0,t);}
f2(t)=f(x(t)+0,t);{displaystyle f_{2}(t)=f(x(t)+0,t);}
[f]=f2(t)−f1(t){displaystyle [f]=f_{2}(t)-f_{1}(t)}

Интегральные законы сохранения в эйлеровых координатах имеют вид
(1){∮C⁡ρxν⋅dx−ρuxν⋅dt=0,∮C⁡ρuxν⋅dx−(p+ρu2)xν⋅dt=−∮G⁡∮C⁡νpxν−1⋅dxdt,∮C⁡ρ(ε+u22)xν⋅dx−ρu(ε+pρ+u22)xν⋅dt=0.{displaystyle (1){begin{cases}oint limits _{C}rho x^{nu }cdot dx-rho ux^{nu }cdot dt=0,\oint limits _{C}rho ux^{nu }cdot dx-(p+rho u^{2})x^{nu }cdot dt=-oint limits _{G}oint limits _{C}nu px^{nu -1}cdot dxdt,\oint limits _{C}rho (varepsilon +{frac {u^{2}}{2}})x^{nu }cdot dx-rho u(varepsilon +{frac {p}{rho }}+{frac {u^{2}}{2}})x^{nu }cdot dt=0.end{cases}}}

Запишем законы сохранения (2) для контура АА' ВВ', считая, что линии А'В и B'А контура С, а также двойной интеграл ∮G⁡∮C⁡νpxν−1⋅dxdt{displaystyle oint limits _{G}oint limits _{C}nu px^{nu -1}cdot dxdt}. Вдоль линии x=x(t){displaystyle x=x(t)} имеем dx=Ddt{displaystyle dx=Ddt}, где D=D(t)=x′(t){displaystyle D=D(t)=x^{prime }(t)}.

Поэтому, например, из первого уравнения (1), получаем
∫t1t2xν{(ρ2(t)−ρ1(t))D(t)−(ρ2(t)u2(t)−ρ1(t)u1(t))}⋅dx=0{displaystyle int limits _{t_{1}}^{t_{2}}x^{nu }left{(rho _{2}(t)-rho _{1}(t))D(t)-(rho _{2}(t)u_{2}(t)-rho _{1}(t)u_{1}(t))right}cdot dx=0} ,(2){displaystyle ,(2)}

Ввиду произвольности пределов интегрирования в (2), должно равняться нулю подынтегральное выражение т.е.
xν(t){D(t)[ρ]−[ρu]}=0{displaystyle x^{nu }(t)left{D(t)[rho ]-[rho u]right}=0}.

Сокращая равенство на xν{displaystyle x^{nu }}, мы видим, что условия на линии разрыва одинаковы для трех случаев симметрии ν=0,1,2{displaystyle nu =0,1,2}.

Поступая аналогичным образом со всеми законами сохранения (1), получим условия на линии разрыва x=x(t){displaystyle x=x(t)}

D[ρ]=[ρu],{displaystyle D[rho ]=[rho u],}

D[ρu]=[p+ρu2],{displaystyle D[rho u]=[p+rho u^{2}],}

D[ρ(ε+u22)]=[ρu(ε+pρ+u22)]{displaystyle D[rho (varepsilon +{frac {u^{2}}{2}})]=[rho u(varepsilon +{frac {p}{rho }}+{frac {u^{2}}{2}})]}

которые связывают скачки гидродинамических величин на линии разрыва x=x(t){displaystyle x=x(t)} и скорость D=x′(t){displaystyle D=x^{prime }(t)} линии разрыва.

Последние соотношения называются условиями гидродинамической совместимости разрыва либо условиями Гюгонио.