Vjylku

Цепь Каннингема (цепь почти удвоенных чисел) — последовательность простых чисел определённого вида, названо в честь математика Алана Каннингема (англ.)русск..

Цепь Каннингема первого рода длины n — это последовательность простых чисел (p₁,…,p_n), таких что для всех 1 ≤ i < n, p_i+1 = 2 p_i + 1 (следовательно, каждый член этой цепи, за исключением последнего, является числом Софи Жермен, а за исключением первого — безопасным простым числом): p2=2p1+1{displaystyle p_{2}=2p_{1}+1}, p3=4p1+3{displaystyle p_{3}=4p_{1}+3}, p4=8p1+7{displaystyle p_{4}=8p_{1}+7}, …, pi=2i−1p1+(2i−1−1){displaystyle p_{i}=2^{i-1}p_{1}+(2^{i-1}-1)}.

Цепь Каннингема второго рода длины n — это последовательность простых чисел (p₁,…,p_n), таких что для всех 1 ≤ i < n, p_i+1 = 2 p_i — 1 : pi=2i−1p1+(2i−1+1){displaystyle p_{i}=2^{i-1}p_{1}+(2^{i-1}+1)}

Цепи Каннингема иногда обобщают как последовательность простых чисел (p₁,…,p_n), таких что для всех 1 ≤ i < n, p_i+1 = ap_i + b для фиксированных взаимно простых целых a, b. Такая цепь называется обобщённой цепью Каннингема.

Цепь Каннингема называется полной, если не может быть продолжена, то есть если предшествующий и последующий член последовательности не будут простыми.

Цепи Каннингема сейчас признаны полезными для криптографических систем, поскольку «они обеспечивают две конкурентные приемлемые установки для схемы шифрования Эль-Гамаля, которые могут быть использованы в любом месте, где проблема вычисления дискретного логарифма трудна»^[1].

Самые большие известные цепи Каннингема |

Согласно гипотезе Диксона и более общей гипотезе H Шинцеля, большинством учёных полагающимся верными, для любого k имеется бесконечное число цепей Каннингема длины k. Нет, однако, известного метода генерации таких цепей.

q# обозначает примориал 2×3×5×7×…×q.

К 2011 году самая большая известная цепь Каннингема любого рода имеет длину 17. Первая найдена была цепь первого рода, начинающаяся с 2759832934171386593519, (найдена Ярославом Вроблевским в 2008 году).^[2]

Совмещаемость цепей Каннингема |

Пусть нечётное простое число p1{displaystyle p_{1}} — первое число в цепи Каннингема первого рода. Поскольку первое число нечётное, p1≡1(mod2){displaystyle p_{1}equiv 1{pmod {2}}}. Так как все последующие числа в цепи равны pi+1=2pi+1{displaystyle p_{i+1}=2p_{i}+1}, то pi≡2i−1(mod2i){displaystyle p_{i}equiv 2^{i}-1{pmod {2^{i}}}}. Отсюда, p2≡3(mod4){displaystyle p_{2}equiv 3{pmod {4}}}, p3≡7(mod8){displaystyle p_{3}equiv 7{pmod {8}}}, и так далее.

Это свойство неформально можно наблюдать при представлении чисел в двоичном виде (заметьте, что для любого основания умножение числа на основание приводит к сдвигу цифр влево) Если мы представим pi+1=2pi+1{displaystyle p_{i+1}=2p_{i}+1} в двоичном виде, мы увидим, что при умножении pi{displaystyle p_{i}} на 2 младший знак числа pi{displaystyle p_{i}} становится вторым знаком числа pi+1{displaystyle p_{i+1}}. Поскольку pi{displaystyle p_{i}} нечетно, младший знак равен 1 и он становится вторым справа знаком pi+1{displaystyle p_{i+1}}. И, наконец, мы видим, что pi+1{displaystyle p_{i+1}} станет нечётным при прибавлении 1 к 2pi{displaystyle 2p_{i}}. Таким образом, производные простые в цепи Каннингема получаются сдвигом двоичного числа влево на одну позицию и заполнением освободившейся позиции единицей. Для примера приводим полную цепь длины 6, начинающуюся с 141361469:

Аналогичный результат можно получить и для цепей второго рода. Заметим, что из p1≡1(mod2){displaystyle p_{1}equiv 1{pmod {2}}} и отношения pi+1=2pi−1{displaystyle p_{i+1}=2p_{i}-1} следует, что pi≡1(mod2i){displaystyle p_{i}equiv 1{pmod {2^{i}}}}. В двоичной записи простые числа в цепи Каннингема второго рода кончаются на «0…01», где для любого i{displaystyle i} число нулей для pi+1{displaystyle p_{i+1}} на единицу больше числа нулей pi{displaystyle p_{i}}. Как и в случае чисел первого рода, биты слева от этих сдвигаются влево на одну позицию в каждом последующем члене цепи.

Примечания |

1. 
   ↑ Joe Buhler, Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III. New York: Springer (1998): 290
   


2. 
   ↑ ¹² Dirk Augustin, Cunningham Chain records. Retrieved on 2011-11-08.
   

Ссылки |

• The Prime Glossary: Cunningham chain


• PrimeLinks++: Cunningham chain


• последовательность A005602 в OEIS: первый член минимальной полной цепи Каннингема первого рода длины n{displaystyle n}, для 1≤n≤14{displaystyle 1leq nleq 14}
  


• последовательность A005603 в OEIS: первый член минимальной полной цепи Куннингама второго рода длины n{displaystyle n}, для 1≤n≤15{displaystyle 1leq nleq 15}