Vjylku

Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z),

и

H_i(X,Z) = {0} при всех остальных i.

Примеры |

• Сфера Пуанкаре


• 
  Сферы Брискорна Σ(p, q, r), то есть пересечание малой 5-мерной сферы с решением уравнения x^p + y^q + z^r = 0 в C3{displaystyle mathbb {C} ^{3}} при взаимно простых p, q и r. Они является гомологическими сферами. При этом Σ(1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а Σ(2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если 1/p+1/q+1/r≤1{displaystyle 1/p+1/q+1/rleq 1}, то универсальное накрытие Σ(p, q, r) гомеоморфно евклидовому пространству,

Свойства |

• Гомологическая сфера связна.


• 
  Фундаментальная группа Γ{displaystyle Gamma } гомологической сферы совпадает со своим коммутатором.


• Пусть n⩾5{displaystyle ngeqslant 5}. Группа Γ{displaystyle Gamma } является группой какой-то n-мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когда^[1]:
  
  
  
  1. 
     Γ{displaystyle Gamma } конечно задана;
  
  
  2. 
     H1(Γ)=0{displaystyle H_{1}(Gamma )=0};
  
  
  3. 
     H2(Γ)=0{displaystyle H_{2}(Gamma )=0}.
  
  
  
  


• Группа Γ{displaystyle Gamma } является группой какой-то 4-мерной гомологической сферы, если
  
  
  
  1. 
     Γ{displaystyle Gamma } задана равным числом образующих и соотношений, и
  
  
  2. 
     H1(Γ)=0{displaystyle H_{1}(Gamma )=0}.
  
  
  
  
  • Неизвестно, верно ли обратное^[1].
  
  


• 
  Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера.


• Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере.

Вариации и обобщения |

• 
  Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами.

Примечания |