Vjylku

Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.

Определение |

На n{displaystyle n}-мерном многообразии M{displaystyle M} задано слоение коразмерности 1, если M{displaystyle M} наделено разбиением на линейно связные подмножества Lα{displaystyle L_{alpha }} со следующим свойством: в окрестности любой точки из M{displaystyle M} найдется локальная система координат x1,…,xn:U→R{displaystyle x^{1},dots ,x^{n}:Uto mathbb {R} }, в которой связные компоненты множества Lα∩U{displaystyle L_{alpha }cap U} состоят из решений xn=const{displaystyle x^{n}={const}}.

Множества Lα{displaystyle L_{alpha }} называются слоями слоения, M{displaystyle M} — его тотальным пространством.

Слои наделяются топологией, базу которой составляют связные компоненты пересечения слоя с открытыми подмножествами тотального многообразразия M{displaystyle M}.
По отношению к этой топологии слой является гладким многообразием, и его включение в тотальное многообразие вложением в слабом смысле.

Связанные определения |

Определяющая 1-форма слоения |

Определяющая 1-форма слоения в открытом множестве U⊂M{displaystyle Usubset M} — это гладкая 1-форма ω{displaystyle omega }, не равная нулю в U{displaystyle U}, ограничение которой на компоненту пересечения любого слоя с U{displaystyle U} тривиально.

Не всякая ненулевая 1-форма определяет слоение в U{displaystyle U}, требуется, чтобы был выполнен критерий интегрируемости Фробениуса:

Гладкая 1-форма ω{displaystyle omega }, не равная нулю в U{displaystyle U}, определяет слоение тогда и только тогда, когда в U{displaystyle U} выполняется одно из двух эквивалентных условий

1. 
   существует гладкая 1-форма η{displaystyle eta } такая что dω=η∧ω{displaystyle domega =eta wedge omega },


2. 
   ω∧dω=0{displaystyle omega wedge domega =0}.

В частности, всякая замкнутая 1-форма определяет слоение.

Если U=M{displaystyle U=M}, мы имеем глобальную определяющую форму.
Слоение коразмерности 1 определяется глобальной 1-формой в том и только в том случае, если оно ориентируемо, и выбор этой 1-формы приводит к выбору определенной ориентации.

Глобальная определяющая форма ω≠0{displaystyle omega neq 0} может быть замкнутой, dω=0{displaystyle domega =0}, только в том случае, когда многообразие является расслоением над окружностью^[1].

Класс Годбийона — Вея |

Для ориентируемых слоений коразмерности 1 определяется класс Годбийона — Вея^[2]:

Ориентируемое слоение F{displaystyle F} задается глобальной формой ω≠0{displaystyle omega neq 0}, удовлетворяющей условию интегрируемости;
следовательно, существует гладкая 1-форма η{displaystyle eta } такая что dω=η∧ω{displaystyle domega =eta wedge omega }.
Классом Годбийона-Вея слоения F{displaystyle F} называется когомологический класс формы η∧dη{displaystyle eta wedge deta }.

На трехмерном многообразии можно определить число Годбийона — Вея, оно равно значению класса Годбийона — Вея на
фундаментальном гомологическом классе.

Геометрический смысл класса Годбийона — Вея остается неясным — известные в настоящее время теоремы показывают, что слоение с нетривиальным классом Годбийона — Вея являются достаточно запутанными.

Примеры |

• 
  Гладкое расслоение над одномерным многообразием


• Нарезка тора T2{displaystyle T^{2}} на окружности или иррациональная обмотка,


• 
  Слоение Риба на сфере S3{displaystyle S^{3}}
  

Наряду со слоением Риба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на ряде других многообразий, в частности, на всех нечетномерных сферах S2k+1{displaystyle S^{2k+1}} ^[3].

Свойства |

• На связном открытом многообразии такое слоение всегда существует^[4].


• На замкнутом многообразии M{displaystyle M} для существования слоения коразмерности 1 необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика многообразия χ(M){displaystyle chi (M)} была равна нулю, χ(M)=0{displaystyle chi (M)=0}^[5].
  
  • В частности, это справедливо для всех нечетномерных замкнутых многообразий M2k+1{displaystyle M^{2k+1}}. Для поверхности Mg2{displaystyle M_{g}^{2}} эйлерова характеристика χ(Mg2)=2−2g{displaystyle chi (M_{g}^{2})=2-2g}, поэтому среди всех двумерных поверхностей только на торе T2{displaystyle T^{2}} существует гладкое слоение.
  
  

Литература |

• 
  И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.

• 
  Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [1]
  

Примечания |

1. 
   ↑ Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over S1{displaystyle S^{1}} — Topology, v.9, 1970, p.153-154
   


2. 
   ↑ Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci., 1971, v.273, N2, p.92-95
   


3. 
   ↑ Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418
   


4. 
   ↑ Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183—194
   


5. 
   ↑ Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, p.249-268
   

Это заготовка статьи по топологии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.