Vjylku

Норми́рование — отображение элементов поля F{displaystyle F} или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле P{displaystyle P} x↦||x||{displaystyle xmapsto ||x||}, обладающее следующими свойствами:

1) ||x||⩾0{displaystyle ||x||geqslant 0} и ||x||=0{displaystyle ||x||=0} только при x=0{displaystyle x=0}

2) ||xy||=||x||⋅||y||{displaystyle ||xy||=||x||cdot ||y||}

3) ||x+y||⩽||x||+||y||{displaystyle ||x+y||leqslant ||x||+||y||}

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) ||x+y||⩽max(||x||,||y||){displaystyle ||x+y||leqslant max(||x||,||y||)}, то нормирование называется неархимедовым.

Значение ||x||{displaystyle ||x||} называется нормой элемента x{displaystyle x}. Если упорядоченное поле P{displaystyle P} является полем вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} }, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы ||⋅||1{displaystyle ||cdot ||_{1}} и ||⋅||2{displaystyle ||cdot ||_{2}} называются эквивалентными, если ||x||1<1{displaystyle ||x||_{1}<1} равносильно ||x||2<1{displaystyle ||x||_{2}<1}.

Примеры нормирований |

• Нормирование, при котором ||0||=0{displaystyle ||0||=0}, ||x||=1{displaystyle ||x||=1} для остальных x{displaystyle x}. Такое нормирование называется тривиальным.


• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } и модуль в поле комплексных чисел C{displaystyle mathbb {C} } являются нормированием.


• Пусть Q{displaystyle mathbb {Q} } — поле рациональных чисел, а p{displaystyle p} — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби x=pnab{displaystyle x=p^{n}{frac {a}{b}}}, где a{displaystyle a} и b{displaystyle b} не кратны p{displaystyle p}. Можно определить следующее нормирование |x|p=p−n{displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Согласно теореме Островского^[en], любая нетривиальная норма на Q{displaystyle mathbb {Q} } эквивалентна либо абсолютной величине |x|{displaystyle |x|}, либо р-адическому нормированию.

Свойства нормы |

• |1|=|−1|=1{displaystyle |1|=|-!1|=1}


• Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство ||x|−|y||⩽|x−y|{displaystyle |;|x|-|y|;|leqslant |x-y|} (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)


• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число A{displaystyle A}, такое, что для любой суммы единичных элементов поля F{displaystyle F}:

3b) ||1+1+...+1||⩽A{displaystyle ||1+1+...+1||leqslant A}

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов x{displaystyle x} и y{displaystyle y} из поля F{displaystyle F} имеем:

|(x+y)n|=|xn+…+Cnixn−iyi+…+yn|⩽(n+1)A[max(|x|,|y|)]n{displaystyle |(x+y)^{n}|=|x^{n}+ldots +C_{n}^{i},x^{n-i},y^{i}+ldots +y^{n}|leqslant (n+1)A[max(|x|,|y|)]^{n}}

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при n→∞{displaystyle nto infty }, получаем условие 3a).^{[источник не указан 1993 дня]} Обратное утверждение очевидно.^{[источник не указан 1993 дня]}

Нормированное поле как метрическое пространство |

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля F{displaystyle F} как норму разности ||x−y||{displaystyle ||x-y||}, мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в F{displaystyle F}.

Пополнение |

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле F{displaystyle F} изоморфно вкладывается в полное нормированное поле F∗{displaystyle F^{*}}, то есть существует изоморфизм i:F→F∗{displaystyle i:Frightarrow F^{*}}. Норма в F∗{displaystyle F^{*}} продолжает норму в F{displaystyle F}, то есть для каждого x{displaystyle x} из F{displaystyle F}: ||i(x)||F∗=||x||{displaystyle ||i(x)||_{F^{*}}=||x||}, причём F{displaystyle F} плотно в F∗{displaystyle F^{*}} относительно этой нормы. Любое такое поле F∗{displaystyle F^{*}} определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на F{displaystyle F}; оно называется пополнением поля F{displaystyle F}.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел Q{displaystyle mathbb {Q} } с p-адической метрикой является поле p-адических чисел Qp{displaystyle mathbb {Q} _{p}}.

Экспоненциальное нормирование |

Пусть v{displaystyle v} — отображение из мультипликативной группы поля K∗{displaystyle K^{*}} в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) v(xy)=v(x)+v(y){displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}

2) v(x+y)⩾min(v(x),v(y)){displaystyle v(x+y)geqslant min(v(x),v(y))}

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: v(0)=∞{displaystyle v(0)=infty }. Групповая операция на ∞{displaystyle infty } определена следующим образом: a+∞=∞+a=∞{displaystyle a+infty =infty +a=infty } для любого a{displaystyle a}, ∞{displaystyle infty } упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд^[1] и Ленг.^[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения v{displaystyle v} называют группой нормирования, а множество тех элементов x{displaystyle x} поля K{displaystyle K}, для которых v(x)⩾0{displaystyle v(x)geqslant 0} — кольцом нормирования (обозначение — Rv{displaystyle R_{v}}), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

Примечания |

Литература |

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.


• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.


• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.


• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.